Minimizar el uso de combustible para embarcaciones pequeñas entre puntos determinados

Question

Tengo 12 años y esta tarde me estaba aburriendo, así que mi padre me dio este problema de matemáticas (me dijo que tenía que ser difícil y que investigara un poco para aprender a resolverlo).

"Un pequeño bote moviéndose a $V$ km/h consume combustible a un ritmo dado por la función $$q = 8 + \frac {V^2}{50}$$ donde q se mide en litros/hora. Determina la velocidad de la embarcación a la que la cantidad de combustible utilizada para cualquier trayecto es la menor."

No tenía ni idea de cómo hacerlo hasta que encontré algo en Internet sobre "cálculo". Me imaginé que tendría que elaborar una fórmula para el combustible total consumido (tasa de combustible multiplicada por el tiempo). Pero cuando intenté hacerlo, me di cuenta de que había creado otra variable (distancia) cuando intentaba escribir V en términos de d/t.

Estoy realmente atascado, siento que he resuelto como hacer este tipo de problemas, pero este en particular no puedo resolverlo.

No sé, ¿seríais capaces de resolverlo o es demasiado complicado y debería llevárselo a mi profesor de matemáticas?

Answer 1

Considera que el viaje es $L$ km y dura $t$ horas. ¿Cuál es la relación entre $L$ , $t$ y $V$ ?

Por definición $V=L/t$ .

Calcula ahora cuántos litros de combustible se consumirán durante el viaje. Llama a este número $F$ .

$F$ es la tasa de consumo multiplicada por el tiempo, por lo que $F=qt$ .

Ahora viene la parte difícil. Aquí tienes una pequeña ayuda: calcula el número de litros de combustible consumidos por km (llama a este número $G$ por ejemplo) y expresarlo de forma que dependa de $V$ y no en $t$ o $L$ .

$G=F/L=qt/L$ Desde $V=L/t$ , tienes $t=L/V$ Por lo tanto $G=q/V=8/V+V/50$ .

Ahora tenemos el número de litros de combustible consumidos por km que depende únicamente de $V$ . Deseamos que este número sea lo más reducido posible. No conozco sus antecedentes. Existe una técnica llamada diferenciación (cálculo de la derivada) que da respuesta a este problema, pero puede que no la conozcas. Con un programa de trazado, puedes dibujar la curva de $G$ en función de $V$ donde $V$ puede tomar valores de $0$ a un número grande, digamos $100$ por ejemplo. Si no lo tienes, coloca el ratón sobre la zona bajo este párrafo, verás cómo queda.

Observas que hay un mínimo en un valor que puedes leer en el eje.

El valor del mínimo se sitúa en $V=20$ litros por hora.

¿Cómo se puede hallar el valor sin un método gráfico? Calcular $\frac52G$ e intenta escribir la fórmula de la forma más sencilla posible. La respuesta es bastante simétrica.

Debería encontrar $\frac52G=\frac{20}V+\frac{V}{20}$ .

He aquí un pequeño razonamiento. Sustituir $V$ de tal forma que la ecuación para $\frac52G$ es simplemente $x+\frac1x$ . Sabiendo que esta función tiene un único Como mínimo, deberías poder demostrar gráficamente el resultado que has encontrado.

Configuración $x=\frac{V}{20}$ tenemos la fórmula $\frac52G=x+\frac1x$ . El mínimo de $G$ es igual al mínimo de $\frac52G$ y entonces es el mínimo de $x+\frac1x$ . Observe que si sustituye $x$ por $\frac1x$ Esto no cambia el valor: Esto significa que el mínimo se obtiene para $x$ y para $\frac1x$ . Pero hay un mínimo único, lo que significa que $x=\frac1x$ . Por lo tanto, la única solución es $x=1$ y luego $V=20$ .

Answer 2

Si puede asumir que $V$ es constante a lo largo del trayecto, tienes que hacer que la cantidad que te interesa -la cantidad de combustible- sea una de las variables. Si $t$ es el tiempo en horas, entonces $qt=Q$ es la cantidad de combustible, que se quiere reducir al máximo. Tenga en cuenta también que $Vt=D$ será la distancia recorrida en km, y "para cualquier trayecto" sugiere que debe tomarse como constante para el trayecto en cuestión. Hay que averiguar qué constante $V$ minimiza el uso de combustible $Q$ para un viaje de longitud $D$ .

Así que primero multiplica la ecuación por $t$ para obtener $$Q=8t+\frac {DV}{80}$$

Ahora puedes controlar $V$ y no están realmente interesados en $t$ así que deshazte de $t=\frac DV$ para que $$Q=\frac {8D}V+\frac {DV}{80}$$

Después de estas manipulaciones ahora tienes $Q$ la cantidad que se desea minimizar, expresada en función de la constante $D$ y la cantidad que puede controlar, es decir $V$ .

Ante un problema de este tipo, la primera tarea consiste en transformarlo en una forma que se exprese en términos de las cantidades que nos interesan y eliminando otras.

Te dejo que hagas el interesante trabajo de encontrar la respuesta final a partir de esta forma de ecuación.

Answer 3

Para un niño de 12 años, un poco de experimentación puede ser más fácil.

Intenta fijarte primero en los extremos. Elige números fáciles, como V=1 y V=100.

Para V=1, q=8+ $\frac{1}{50}$ . En una hora, quemarás 8,02 litros de combustible para recorrer 1 kilómetro. Lo más importante es el "8" constante

Para V=100, q=8+ $\frac{10000}{50}$ En una hora, ahora quemarás 208 litros de combustible, pero has recorrido 100 kilómetros. Eso es mejor, sólo 2,08 litros por kilómetro. La mayor parte es ahora $\frac{V^2}{50}$

Experimentemos un poco más. ¿Y si ambas partes fueran iguales? ¿Y si $8 = \frac{V^2}{50}$ ? Es decir $V^2=400$ o V=20. En ese caso, q=16. En una hora, recorres 20 kilómetros, por sólo 16 litros. ¡Es decir, sólo 0,80 litros por kilómetro!

Ok, así vemos que si vamos despacio, la parte 8 es importante, y si vamos rápido, la parte $V^2$ parte es importante, y en el medio tienes una solución mejor. Pero, ¿cuál es la mejor?

El truco que utilizamos en matemáticas consiste en encontrar la mejor velocidad V para que ir más rápido (V+dV) consuma más combustible, e ir más despacio (V-dV) también consuma más combustible. dV es un número muy pequeño. De hecho, lo haremos tan pequeño que $dV^2$ es lo suficientemente pequeño como para ignorarlo. Por lo tanto, $(V+dV)^2 = V^2 + 2*V*dV$ .

Así que eso significa que tendríamos un $q+dq = 8 + \frac {V^2 + 2*V*dV}{50}$ . Eso es un poco rebelde. Simplifiquémoslo mirando alrededor de V=20. $16+dq = 8 + \frac {400 + 40*dV}{50}$ o $dq = \frac {4}{5}*dV$ . Eso sí que es mejor. Si voy un poco más rápido de 20 km/h, mi consumo de combustible por hora sube igual de rápido. Y si voy un poco más despacio, mi consumo de combustible baja igual de rápido.

Pero eso significa que el consumo de combustible por kilómetro ¡no cambia alrededor de V=20! Ahora bien, 20 es una elección algo afortunada de V. Podría hacer lo mismo para V=10, y entonces vería que $q = 10, dq = \frac {2}{5} dV$ . Mi consumo de combustible sube más despacio que mi velocidad, sólo un 40%. Así que es mejor ir más rápido de 10 kilómetros por hora.

Así que, si no hubiera adivinado V correctamente del truco $8=\frac{v^2}{50}$ habría tenido que resolver dq/dV = q/V . Es un poco de escritura pero obtendrás V=20 igualmente.