Mostrar que $(Y,||\cdot||_Y)$ es un espacio de Banach

Question

Sea $(X,||\cdot||_X)$ un espacio de Banach y $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una base de Schauder de X. ¿Cómo puedo probar que $Y:=\{\alpha:\mathbb{N}\to\mathbb{R} \space| \lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N\alpha_n e_n \;\text{existe}\}$ es un espacio de Banach con la norma $||\alpha||_Y:=\sup_{N}||\sum_{n=0}^N\alpha_n e_n||_X$.

En especial, ¿cómo puedo demostrar que $||\cdot||_Y$ es completo? Hasta ahora solo pude demostrar que si tenemos una sucesión de Cauchy $(\alpha^{(l)})_{l\in\mathbb{N}}\subset Y$ entonces tenemos puntualmente $\alpha^{(l)}_j\to\alpha_j$ cuando $l\to\infty$ para algún $a_j\in\mathbb{R}$. De esta manera se puede definir $\alpha:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$. Pero no sé cómo demostrar $\alpha^{(l)}\to\alpha$ cuando $l\to\infty$ en $||\cdot||_Y$.

Answer 1

Defina $$\Lambda: Y \to X: \alpha\mapsto \lim_{N\to \infty}\sum_{n=1}^N \alpha_ne_n.$$ Mostramos que $\Lambda$ es un isomorfismo.

• Por la definición de la norma de $Y$, $\Lambda$ es contractiva, por lo tanto continua.
• $\Lambda$ es sobreyectiva, ya que {$e_n$} es una base de Schauder.
• $\Lambda$ es inyectiva. Supongamos $\Lambda \alpha =0$, es decir, $\sum_{n=1}^\infty \alpha_ne_n=0$. Nuevamente, como {$e_n$} es una base de Schauder, la independencia lineal $\omega$ de $\{e_n\}$ da $\alpha_n=0$ para todo $n$.
• Resta mostrar que $\Lambda^{-1}$ es acotada. Este es el paso clave. La siguiente proposición es una definición equivalente de base de Schauder.

Proposición: $\{e_n\}$ es una base de Schauder si y solo si es una base de independencia lineal $\omega$, y existe una constante $C>0$, tal que $\|P_N\|\leq C$. Aquí $P_N$ es la proyección $$P_N:X\to X: x=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \mapsto\sum_{n=1}^N\alpha_ne_n.$$

Con esta proposición vemos que $\|\Lambda^{-1}\|\leq C$.

Observación:

1. La proposición anterior no es trivial. Se puede encontrar en libros de texto y agregaré referencias más adelante.
2. No se puede usar el teorema del operador inverso de Banach para reemplazar el cuarto paso, ya que aún no sabemos si $Y$ es Banach.

Una referencia es Temas en teoría de espacios de Banach, Proposición 1.1.9. Como dijo David Mitra, esta proposición puede ser equivalente a que $X$ sea isométrico a $Y$. Lamento no haberlo verificado cuando publiqué esta respuesta. De todos modos, este libro proporcionará una prueba autocontenido a tu pregunta.