Regularización elíptico de la ecuación de calor

Question

Esto es de la PDE Evans, 2ª edición: Capítulo 8, Ejercicio 3:

La elíptica de regularización de la ecuación del calor es el PDE $$ u_t - \Delta u -\epsilon u_{tt}=0 \quad \text{in }U_T, \tag{$*$}$$ where $\epsilon > 0$ and $U_T = U \times (0,t]$. Show that $(*)$ is the Euler-Lagrange equation corresponding to an energy functional $I_\epsilon[w] := \iint_{U_T} L_\epsilon(Dw,w_t,w,x,t) \, dx \, dt$.

(Sugerencia: Busque un Lagrangiano con un término exponencial que implican $t$.)

En mi pregunta anterior con un diferente EL de la ecuación, tenía que encontrar un Lagrangiano en términos de sólo tres variables (es decir, encontrar $L=L(Du,u,x)$).

Ahora para este problema, tengo que encontrar un Lagrangiano que se basa con cinco variables y epsilon (es decir, encontrar $L=L_\epsilon(Du,u_t,u,x,t)$).

Cuando la pista dice "buscar un Lagrangiano con un término exponencial que implican $t$, ¿significan algo como $$e^{-t}(|Du|^2 +\epsilon u_t)$$ o similar?

Ahora, me confundí de nuevo porque, a diferencia de mi anterior pregunta, para esto me piden para trabajar con la variable de tiempo de $t$ pecado, además de la estructura espacial de la variable $x$. Si el término exponencial que implican $t$ es, de hecho, $e^{-t}$ veces algo, entonces yo estoy suponiendo que en la diferenciación con respecto a $t$, producto de la regla va a ser usado para encontrar nuestro camino de regreso a la dada EL de la ecuación.

Si alguna de las ms responden a tiene alguna idea, una buena sugerencia que funciona mejor para mí.

Answer 1

Edit2:Vamos a empezar con las siguientes fuentes de energía funcional $$ I(u) =\int_{U \times (0,T]} \frac{e^{- t/\epsilon}}{2} ( | D u|^2 + \epsilon | u_t | ^2 ) dx dt $$ Recordemos que el de Euler-Lagrange Ecuación es sólo una crítica de la solución a la primera variación $\delta I$. La primera variación se define como $$ \delta I = \lim_{h \to 0}\frac{ I( u + h \xi ) - I (u) }{h} $$ y una solución crítica es $u_*$ s.t. $\delta I(u_*) =0$ para todas las funciones de prueba de $\xi$.Esto equivale a encontrar el primer fin de plazo en $h$. La expansión de cálculo es como sigue: $$ |D ( u + h \xi ) |^2 = | Du + h D \xi |^2 = (Du + h D \xi) \cdot (D u + h D \xi ) =|Du|^2 + 2h Du \cdot D \xi + h^2 |D\xi|^2 $$ A continuación, del mismo modo
$$ |\frac{d}{dt} ( u + h \xi ) |^2 = |u_t + h \xi _t |^2 = |u_t|^2 + 2h u_t \cdot \xi_t + h^2 |D \xi|^2 $$ Así conectar estas dos expresiones en la variación de la fórmula vemos $$ \delta I = \int_{U \times (0,T]} e^{- t /\epsilon} ( Du \cdot D \xi + u_t \cdot \xi_t) dx dt $$ Recordemos la fórmula de integración por partes para el espacio: $$ \int_U D u \cdot D \xi dx = \int_{ \partial U} \underbrace{\xi Du \cdot n dS}_{\xi \equiv 0} - \int_U \xi \Delta u d x $$ donde $n$ es el normal en el límite. Ahora, debido a la estructura del producto de la medida y del Teorema de Fubini nos han $$ \int_{U\times (0,T] }e^{- t /\epsilon} ( Du \cdot D \xi) dx dt = \int_{(0,T]} e^{-t / \epsilon } \left ( \int_U Du \cdot D \xi dx \right ) dt =-\int_{(0,T]} e^{-t / \epsilon } \left ( \int_U \xi \Delta u dx \right ) dt = -\int_{U\times (0,T] }e^{-t / \epsilon }\xi \Delta u dx dt$$ Ahora recuerdo integración por partes en una variable $$ \int _a^b f g'dt = f g \Big |^b_a - \int_a^b f' g dt $$ Aquí tenemos a $f = \epsilon e^{- t / \epsilon } u_t $$g = \xi$. Así vemos algo similar ocurre para el 2º trimestre. $$ \int_{(0,T]} \epsilon e^{- t / \epsilon} u_t \xi _t dt = -\int_{(0,T]} \epsilon \xi \frac{d}{dt} (e^{- t / \epsilon} u_t) dt = \int_{(0,T]} e^{-t / \epsilon} \xi (u_t - \epsilon u_{tt}) dt $$ Así vemos $$ \delta I = \int_{U \times (0,T] } \xi e^{- t / \epsilon } ( - \Delta u +u_t - \epsilon u_{tt} ) dx dt $$ Ahora ya tenemos $\delta I =0$ todos los $\xi$, esto implica que $$- \Delta u +u_t - \epsilon u_{tt} = 0$$ desde la exponencial nunca es cero.

Post Original: Bien, mi ir a enfoque es tomar el producto interior en contra de la solución. es decir, si $\mathcal{L}(u) =u_t - \Delta u - \epsilon u_{tt}$, entonces nos fijamos en $$(\mathcal{L}(u),u) = \int_{U_t} \mathcal{L}(u) u dx dt = \int_{U_t} (u_t u - u\Delta u - \epsilon u_{tt} u)dx dt $$ (el espacio y el tiempo!). Si integramos por partes en el espacio en el medio chico y la hora en que el último hombre ( notando la derivada de $t$ sobre la magnitud en el primer chico) vemos que debería ser algo como: $$ (u_t u - u\Delta u - \epsilon u_{tt} u) \approx \frac{1}{2}\frac{d}{dt} |u|^2 + \frac{1}{2} |Du|^2 + \frac{1}{2} \epsilon | u_t|^2 $$

A ver lo que sucede si se intenta $$ L(u) = e^{-c(\epsilon)t}\left (\frac{1}{2}|Du|^2 + \frac{1}{2} \epsilon | u_t|^2 \right ) $$ El $e^{-c(\epsilon)t}$ nos dará un producto de la regla de la situación sin afectar el término derivado.

Sugerencia: Cuando se realice una variación, estamos solucionando $$ \delta I = \lim_{h \to 0} \frac{ I( u + h \xi ) - I ( u) }{h}$$ para cualquier función de prueba de $\xi$(en particular, muere en el límite). Esto equivale a la búsqueda de primer orden en términos de $h$ a partir de la perturbación. es decir, $$L( u + h \xi ) = e^{- c( \epsilon) t } \left ( \frac{1}{2} | D ( u + h \xi )|^2 + \frac{1}{2} \epsilon | u_t + h \xi_t |^2 \right) = L(u) + h [e^{ -c(\epsilon)t} \left( D u \cdot D \xi + \epsilon u_t \cdot \xi_t\right) ] + \mathcal{O}(h^2)$$ Así vemos $$ \delta I = \int_{U_t} e^{ -c(\epsilon)t} \left( D u \cdot D \xi + \epsilon u_t \cdot \xi_t \right) dx dt $$ Ahora realizar la integración por partes que he mencionado en la motivación y el match $c( \epsilon)$ a de la ecuación que se desea. Usted debe terminar con $$\delta I = \int_{U_t} e^{-c(\epsilon)t} (- \Delta u + \epsilon c(\epsilon) u_t - \epsilon u_{tt} )\cdot \xi dx dt $$ Así vemos $u$ es crítico si $$- \Delta u + \epsilon c(\epsilon) u_t - \epsilon u_{tt} =0$$ por el lema fundamental del cálculo variacional.

Answer 2

No puedo comentar, así que les dejo una solución.

Esto se basa en las 5 variables, pero la variable $t$ es, como una variable más en $x$, esto es, podemos pensar en $x \in \mathbb{R}^{n+1}$.

Por lo que la ecuación de Euler-Lagrange tiene la misma forma que cuando se trabaja con 3 variables.

Si consideras que $L(p,q,z,x,t) = ( \frac{1}{2} |p|^2 + \frac{1}{2} \epsilon q^2) e^{-\frac{1}{\epsilon} t}$, creo que tendrás la respuesta.

P.S: Si estoy equivocado, me decir por favor. Estoy estudiando este capítulo en este momento, también.