convergencia de las series: $ \sum_{n=1}^\infty(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot(x+1)^n $

Question

Me gustaría demostrar la convergencia de las series: $$ \sum_{n=1}^\infty(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot(x+1)^n $$ para x $\in \mathbb{R}$ . Estoy un poco perdido en esto. Supongo que me interesaría

• $x<-1$

• $x = -1$

• $x > -1$

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Tenemos $\dfrac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\dfrac{|x+1|^{n+1}}{|x+1|^n}\to|x+1|$ . Por la prueba de la relación, la serie convege en $(-2,0)$ y diverge en $(-\infty,-2)\cup(0,\infty)$ .

Ahora, $\sum_{k=1}^n(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=\sqrt{n+1}-1\to\infty$ . Así pues, la serie diverge para $x=0$ .

¿Puede resolver $x=-2$ ?

Answer 2

Pista: desea utilizar el Prueba de la raíz por lo que desea calcular $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\dfrac{|x+1|^{n+1}}{|x+1|^n} = |x+1|$$ y hallar los valores para los que el límite es $< 1$ . Así que la serie converge $$\forall x | |x+1| < 1\\ \forall -1 < x + 1 < 1\\ \forall -2 < x < 0$$