Sea $K/\mathbf{Q}$ sea un campo cuadrático imaginario, con $\sigma \in \mathrm{Gal}(K/\mathbf{Q})$ un generador. Supongamos que $\pi$ es una representación automórfica cuspidal de $GL_2 / K$ con el personaje central $\omega_{\pi}$ . Si $\pi_{\infty}$ tiene el parámetro Langlands $z\to \mathrm{diag}(z^{1-k},\overline{z}^{1-k})$ para $k \geq 2$ un número entero, y $\omega_{\pi}^{\sigma}=\omega_{\pi}$ entonces un conocido teorema de Taylor (demostrado a principios de los 90) da como resultado un sistema compatible de dos dimensiones $\ell$ -representaciones Galois de $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ unido a $\pi$ . Mi pregunta es simple: dado todo el trabajo reciente sobre el lema fundamental y el progreso concomitante en el campo de las representaciones de Galois automórficas, ¿es posible demostrar este resultado? sin cualquier hipótesis de invariancia de Galois sobre el carácter central $\omega_{\pi}$ ?
Respuestas
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Varios grupos de personas han pensado/están pensando en ello. La fuente natural de las repeticiones de Galois deseadas es un $U(2,2)$ Variedad Shimura. El problema es que la cohomología de esta variedad no es tan fácil de entender. El lema fundamental desempeña sin duda algún papel en su control, pero no creo que por sí solo supere las dificultades clave. (Aunque mi propia comprensión de las cuestiones dista mucho de ser perfecta).
El teorema de Taylor trata de algebraico regular representaciones $\pi$ . La mayoría de las representaciones no son algebraicas en ningún sentido (cf. mi respuesta a esta pregunta ), por lo que no están conectadas a ninguna representación de Galois (por lo que sabemos).
Ahora para una algebraica $\pi$ se plantea la cuestión de dónde buscar la representación de Galois correspondiente. La dificultad con $GL_2/K$ es que el espacio simétrico correspondiente no es una variedad algebraica, por lo que no hay cohomología que lleve la representación de Galois pertinente. La idea de Taylor era pasar a $GSp_4/\mathbb{Q}$ que es mejor en ese sentido, pero el cambio requiere la condición en el personaje central. Creo que lo que falta es una construcción mejor (más general) que dé lugar a un objeto con una acción de Galois, no una mejor comprensión del lema fundamental o de las representaciones de Galois per se. Este no es mi campo de especialización, así que mejor paro aquí.
