Bola rodante y número de coordenadas generalizadas

Question

Consideremos una esfera obligada a rodar sobre una superficie rugosa. El libro dice que se necesitan 5 coordenadas generalizadas para especificar la configuración de la esfera: 2 para su centro de masa y 3 para su orientación.

No entendía por qué 3 de orientación. Supongo que sólo se necesitan 2: una altitud y un acimut es decir. $\theta$ y $\phi$ . Dado que el radio es fijo, $r$ no es necesario.

Por lo tanto, según mi (erróneo) entendimiento, sólo se necesitan 2+2 = 4 coordenadas generalizadas.

Por favor, corríjanme.

Answer 1

La forma en que lo describe, utilizando $\theta$ y $\phi$ y $r$ no describes la orientación de la bola, describes la posición de un punto en la bola, y para eso tienes razón, sólo necesitas 2 coordenadas para describir la posición de un punto en una esfera.

Sin embargo, cuando se trata de la orientación (en qué dirección está orientada cada parte de la esfera), se necesitan realmente 3 coordenadas para describirla. Imagina que tienes un pequeño mapa de la Tierra en tu esfera y quieres orientarla de modo que el polo norte mire en una dirección determinada. Para ello necesitas 2 grados de libertad, porque el polo norte es sólo un punto de la pelota. Sin embargo, fijando el polo norte en una dirección determinada, todavía tienes la libertad de girar la bola alrededor del eje que pasa exactamente por su centro, y a través del polo norte. Y ese es tu tercer grado de libertad.