Laplace inverso de $F(s) = \frac{3s}{(s^2+9)^2}$

Question

¿Puede alguien indicar cómo responder a lo siguiente?

${\scr L^{-1}}(F(s))$ donde $F(s) = \dfrac{3s}{(s^2+9)^2}$

Conozco el ${\scr L}\left(\dfrac{3}{s^2+9}\right)=\sin(3t)$ y que $\dfrac{d}{ds}\dfrac{1}{s^2+9}=\dfrac{2s}{(s^2+9)^2}$ pero no entiendo muy bien cómo aplicar estos dos para obtener una respuesta final, si alguien pudiera mostrar un paso a paso que sería muy útil gracias.

Answer 1

Recuerda la definición de la transformada de Laplace.

$$\mathscr{L}[f](s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,dt$$

es una integral que depende de los parámetros. A menudo pueden diferenciarse bajo el signo de la integral, y si $f$ tiene como mucho un crecimiento exponencial - $\lvert f(t)\rvert \leqslant C\cdot e^{Kt}$ para algunas constantes $C,\,K$ - se obtiene la derivada de $\mathscr{L}[f]$ diferenciando bajo la integral,

$$\frac{d}{ds} \mathscr{L}[f](s) = \int_0^\infty f(t)\frac{d}{ds} e^{-st}\,dt = - \int_0^\infty t\cdot f(t)e^{-st}\,dt.$$

En su caso - tiene un error de signo, por cierto - tenemos

$$F(s) = \frac{3s}{(s^2+9)^2} = -\frac{1}{2} \frac{d}{ds} \frac{3}{s^2+9} = -\frac{1}{2}\frac{d}{ds} \mathscr{L}[\sin (3t)](s).$$

Dado que la transformada de Laplace es lineal, y por tanto su inversa también lo es, y $\sin (3t)$ tiene como máximo un crecimiento exponencial (está acotado), lo anterior hace que determinar

$$\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{3s}{(s^2+9)^2}\right]$$

fácil.

Answer 2

Una de las propiedades básicas de la transformada inversa es que si ${\scr L}\left(f(t)\right)=F(s)$ entonces ${\scr L}^{-1}\left(-F'(s)\right)=tf(t)$ .

Así que tienes $F(s) = \dfrac{3}{s^2+9}$ y $-F'(s) = \dfrac{6s}{(s^2+9)^2}$ (tenga en cuenta que ha perdido un signo en su derivada, que de todas formas se elimina con el negativo delante de $F'(s)$ ). Así que

$\begin{align} {\scr L}^{-1}\left(\dfrac{3s}{(s^2+9)^2}\right) &= {\scr L}^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\dfrac{6s}{(s^2+9)^2}\right) \\ &= \dfrac{1}{2}{\scr L}^{-1}\left(\dfrac{6s}{(s^2+9)^2}\right) \\ &= \dfrac{1}{2}t\sin(3t) \end{align}$

Answer 3

• $$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm ds} \left(\dfrac{1}{s^2+9}\right)=\dfrac{-2s}{(s^2+9)^2} \implies \dfrac{\mathrm d}{\mathrm ds}\left(\dfrac{3/2}{s^2+9}\right)=\dfrac{-3s}{(s^2+9)^2}$$
• $$f(t) \overset{\mathscr{L}}\longrightarrow F(s) \qquad \text{and } \qquad t\cdot f(t) \overset{\mathscr{L}}\longrightarrow-F'(s)$$
• $$F(s)=\left(\dfrac{3/2}{s^2+9}\right) \underset{\mathscr{L}}{\overset{\mathscr{L}^{-1}}\leftrightharpoons} f(t)={1 \over 2}\sin(3t)$$
• $$-F'(s)=\dfrac{3s}{(s^2+9)^2} \underset{\mathscr{L}}{\overset{\mathscr{L}^{-1}}\leftrightharpoons} \color{red}{f(t)={t \over 2}\sin(3t)} \qquad \longleftarrow$$