Problema de la teoría del número de BMO2 2016

Question

Supongamos que $p$ es un número primo y que existen enteros positivos diferentes $u$ y $v$ tal que $p^2$el % es la media de $u^2$ y $v^2$. Demostrar que $2p−u−v$ es un cuadrado o un cuadrado de dos veces.

Cualquier persona puede encontrar una prueba. Realmente no veo ninguna manera de abordar el problema.

Answer 1

La primera asume que el $p>2$ (debido al $p=2$ la ecuación de $u^2+v^2=8$ es fácil de resolver).

Ahora utilice el siguiente truco para formar $2p-u-v$ :

$$4p^2=2\cdot 2p^2=2(u^2+v^2)=(u+v)^2+(u-v)^2$$

y el uso de la diferencia de cuadrados :

$$(2p-u-v)(2p+u+v)=(u-v)^2 $$

Deje $q$ ser un primer factor de $2p-u-v$ $2p+u+v$ así :

$$q \mid (2p-u-v)+(2p+u+v)=4p$$ $$q \mid (2p+u+v)-(2p-u-v)=2(u+v)$$

Ahora vamos a considerar dos casos :

• Si $q$ es impar, a continuación,$q \mid p$, pero debido a $p$ es primo de ello se sigue que $q=p$ y, a continuación,$p \mid u+v$ .

Pero entonces :

$$p \mid (u+v)^2-(u^2+v^2)=2uv$$ $$p \mid uv$$

Si, por ejemplo, $p \mid u$ también $p \mid v$ porque $p \mid u+v$ .Así, tanto la $u$ $v$ son divisibles con $p$ y así :

$$2p^2=u^2+v^2 \geq p^2+p^2=2p^2$$

Por lo tanto debemos tener $u=v=p$ $2p-u-v=0$ es un cuadrado perfecto .

• Si ninguno de los factores primos comunes a $q$ es impar entonces su dpc debe ser una potencia de dos , algunos $2^k$

El uso de la identidad :

$$(2p-u-v)(2p+u+v)=(u-v)^2 $$

de ello se desprende que $2p-u-v=2^kx^2$ $2p+u+v=2^ky^2$ algunos $x$$y$ .

Por lo tanto si $k$ es incluso, a continuación, $2p-u-v$ es un cuadrado perfecto, y si es impar es el doble de un cuadrado perfecto, lo que demuestra la demanda .

Answer 2

Sugerencia: Una forma de conseguir plazas del % dado $2p-u-v$es multiplicar por un conjugado, $2p+u+v$. Simplificar lo que conseguir utilizando el hecho de que $2p^2 = u^2+v^2$ y mira la factorización de los resultados. Entonces, considerar los posibles valores de $2p-u-v$ dado esa factorización.

Answer 3

Tenga en cuenta que #% el %#% o $2p^2=u^2+v^2$. WLOG, supongamos que $(p-u)(p+u)=(v-p)(v+p)$.

De la ecuación anterior, tenemos: $u<p<v$ $ ahora, hacer los siguientes análisis:

Si $$2p-u-v=(p-u)+(p-v)=\frac{(v-p)(v-u)}{p+u}$ es el primer impar y $q$ $q^a|(v-p)$ desde $q^a\not|(v+p)$ es primer y $p$.

Así, $p\not|v$ y sólo una de %#% es divisible por $q^a|(p-u)(p+u)$ #% y $(p-u)$.

Si es decir #% y $(p+u)$, $q^a$% #% y así $q^a|(p-u)$ $

Si entonces, $q^a|(v-p+p-u)$ $q^a|(v-p)$$$q^{2a}|\frac{(v-p)(v-u)}{p+u}.$q$.

Lo anterior es cierto para todo impares números primos, así que $q^a|(p+u)$$$q\not|\frac{(v-p)(v-u)}{p+u}.$% $ $ since factorization of numerator and denominator will cancel all $