Recuento excesivo de relaciones de equivalencia

Question

Publiqué esto Cardinalidad de las relaciones de equivalencia de $\mathbb R$ con 2 clases de equivalencia. pero no puedo entender algunas cosas importantes.

En general, digamos que quiero encontrar la cardinalidad de las relaciones de equivalencia de $\mathbb R$ con $x\in \mathbb N$ clases de equivalencia.

Toma $x^\mathbb R$ No entiendo por qué hay un recuento excesivo.

Supongamos que $x=\left\{0,1 \right\}$ entonces $|x|=2.$

Define:

$A:=\left\{\text{The constant zero function }\right\}$ , $B:=\left\{\text{The constant one function }\right\}.$

$A,B$ son relaciones de equivalencia con $1$ clase de equivalencia.

No puedo entender por qué hay relaciones de equivalencia que cuentan en exceso y la cardinalidad no es sólo $|x^\mathbb R \setminus A \cup B.|$

Le agradecería su ayuda.

Answer 1

Tienes razón en que hay sobreconteo si nos fijamos en el conjunto de todas las funciones.

Cada función $f:\Bbb R\to X$ define una relación de equivalencia $r\sim r'\Leftrightarrow f(r)=f(r')$ pero si $f$ no es surjective entonces puede haber menos de $|X|$ clases de equivalencia. Si sólo contamos relaciones de equivalencia con exactamente $|X|$ muchas clases de equivalencia, entonces sólo deberíamos contar las funciones suryectivas.

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Pero resulta que el número de funciones $\Bbb R\to X$ es igual al número de proyecciones $\Bbb R\to X$ para cualquier $|X|\leq |\Bbb R|$ .

En primer lugar, está claro que cada suryección es una función, así que si podemos demostrar que cada función puede definir una única suryección, habremos demostrado que el conjunto de funciones y el conjunto de suryecciones tienen igual cardinalidad.

Desde $|X|\leq |\Bbb R|$ existe una suryección $h:\Bbb R_{\leq 0}\to X$ proyectando los números reales no positivos sobre $X$ . Sea $f:\Bbb R\to X$ sea una función, y defina $g_f:\Bbb R_{>0}\to X$ como $g_f(r)=f(\ln(r))$ . Por último, combinando $h$ et $g_f$ da una suryección $h\cup g_f:\Bbb R\to X$ .

Si $f\neq f'$ entonces también $g_f\neq g_{f'}$ y, por tanto $h\cup g_f\neq h\cup g_{f'}$ . Esto demuestra que cada función $\Bbb R\to X$ puede definir una suryección única $\Bbb R\to X$ .