Dado un campo $F$ de característica 2, necesito dar un ejemplo de forma bilineal simétrica $f$ en una dimensión finita $F$ espacio vectorial tal que $f$ no es diagonalizable. Agradeceré cualquier pista.
Respuesta
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Intente encontrar un ejemplo para el campo más simple posible $\mathbb{F}$ y el espacio vectorial $V$ en $\mathbb{F}$ . Toma $\mathbb{F} = \mathbb{F}_2$ el campo con dos elementos. Si $\dim_{\mathbb{F}} V = 1$ entonces claramente toda forma bilineal es diagonalizable, así que prueba el siguiente caso no trivial $\dim_{\mathbb{F}} V = 2$ (por ejemplo $V = \mathbb{F}_2^2$ ). Una forma bilineal simétrica $f \colon V \times V \rightarrow \mathbb{F}$ puede representarse con respecto a una base determinada (por ejemplo, la base estándar de $\mathbb{F}_2^2$ ) por un $2 \times 2$ matriz simétrica $A \in \mathrm{M}_2(\mathbb{F}_2)$ . Sólo hay ocho matrices en $\mathrm{M}_2(\mathbb{F}_2)$ . No quieres una diagonal $A$ por lo que sólo quedan cuatro matrices posibles. Juega con las restantes y encontrarás lo que buscas.
