Un límite para una función racional real

Question

Sea $r\geq 1, $ et $\theta$ cualquier número real. Entonces \begin{equation}\frac{1-r\cos\theta}{1+r^2-2r\cos\theta}\leq \frac{1}{2}.\end{equation} Porque, tenemos $2\leq 1+r^2\implies2-2r\cos\theta\leq1+r^2-2r\cos\theta,$ lo que establece la desigualdad anterior. La desigualdad anterior es aguda cuando $r=1,$ es decir, cuando $r$ obtiene el menor valor posible. Así, para $r$ suficientemente mayor que $1$ la diferencia entre el LHS y el RHS aumenta. ¿Existe alguna forma de mejorar esta desigualdad redefiniendo la H.R.S mediante una función $f(r)$ donde $f(1)=1/2?$ Tenga la amabilidad de sugerirme.

Answer 1

Pista: Multiplicando ambos lados por $$1+r^2-2r\cos(\theta)$$ obtenemos $$2-2r\cos(\theta)\le 1 +r^2-2r\cos(\theta)$$ ¿Puedes terminar? $$1-2r\cos(\theta)+r^2=(r-1)^2+2r(1-\cos(\theta))\geq 0$$