Mientras que la lectura de este comentario y de pensar acerca de cómo usted puede cambiar las funciones sin necesidad de convergencia (debido a que la integral de Lebesgue no se preocupa por los cambios en countably muchos lugares), me acaba de llegar a un concepto que podría ser llamado "mentiroso funciones", por los motivos que debería ser obvio, después de leer esto.
El concepto se basa en el hecho conocido de que el conjunto de todos los números reales puede asignar un nombre (no importa en qué forma) es contable, debido a que el número de los nombres contables. Por lo tanto, usted puede cambiar de una función en todo el "nombre" de las posiciones, sin cambiar su integral (o cualquier otra propiedad que sólo depende de los valores "en casi todas partes).
Deje $N\subset\mathbb R$ el conjunto de valores con nombre (es decir, el conjunto de valores que únicamente pueden especificar). Entonces yo llamo un "mentiroso función de una" función $f:\mathbb R\to \mathbb R$ que tiene las siguientes propiedades:
- La restricción de $f$ $N$tiene una extensión obvia $f_1$ a todos los de $\mathbb R$.
- La restricción de $f$ $\mathbb R\setminus N$también tiene una extensión obvia $f_2$$\mathbb R$.
- $f_1$ $f_2$ son significativamente diferentes.
Como un simple ejemplo, considere la función $$f(x)=\cases{1 & for $x$ in $N$\\ 0 & otherwise}$$ Esta función simplemente miente acerca de su valor: Siempre que se evalúe en una posición en la que puede especificar, da $1$. Sin embargo, en realidad, es $0$ en casi todas partes, excepto donde se puede mirar.
Otra función, que se encuentra de manera más sutil, sería la función $$g(x)=\cases{1/q & for $x=p/q\in \mathbb{Q}$, $\operatorname{lcd}(p,q)=1$\\ 0 & $x\in N\setminus \mathbb Q$\\\frac{1}{1+x^2} & lo contrario}$$
Esto en nombre de los valores se ve como el conocido función que es continua en todos los números irracionales, pero discontinua en todos los números racionales. Sin embargo , en realidad es igual a la función de Lorentz en casi todas partes (que, por ejemplo, significa que su integral sobre la $\mathbb R$ existe, pero no es $0$ como se puede inferir si una onle sabe el nombre de valores), y es en realidad en ninguna parte del continuo (pero casi en todas partes igual a una función continua).
Ahora mi pregunta: Es este concepto de "mentiroso funciones" (probablemente con otro nombre) ya conocido?
También, ¿existe un mentiroso función es discontinua en cualquier $x\in N$, pero continua, para cualquier $x\notin N$?
