Una pregunta un poco tonta: si $A$ es un cuerpo convexo y $A$ es no un politopo convexo, ¿significa esto que el número de puntos extremos de $A$ ¿es infinito?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No es una pregunta del todo tonta, ni siquiera en el caso plano. Permítanme dar el argumento en el plano; un argumento de mayor dimensión también funciona.
Supongamos que el número de puntos extremos de $A$ es un conjunto finito $P$ teniendo $\ge 2$ puntos. El conjunto $A$ es el casco convexo de $P$ es decir, la intersección de todos los conjuntos convexos cerrados que contienen $P$ . Con un poco de trabajo (por inducción sobre la cardinalidad de $P$ ), se puede demostrar que $A$ es la intersección del conjunto finito de semiplanos cerrados $H$ teniendo la propiedad de que $P \subset H$ y $P \cap \partial H$ contiene al menos dos puntos. De esta descripción se deduce, con algo más de trabajo, que $A$ es un polígono convexo.
