¿Indices mal impresos en Spacetime and Geometry de Sean Carroll?

Question

Que yo sepa, 3 o más índices pueden no aparecer en un término dado, como he comprobado en un vídeo producido por "Faculty of Khan":

Sin embargo, en la página 30, Sean Carroll escribe:

Como es obvio, los índices 0 y 1 se repiten 3 veces en el lado derecho de la ecuación subrayada.

Soy consciente de que Carroll mantiene una fe de erratas para Espaciotiempo y Geometría, pero no he sido capaz de encontrar información al respecto, así que no estoy seguro de si hay algún significado implícito que me estoy perdiendo.

Answer 1

No hay nada malo en lo que escribió Carroll, y por eso no está en su fe de erratas.

Khan habla de índices simbólicos contraídos, que deben aparecer por parejas. Se suman sus posibles valores (normalmente 0, 1, 2 y 3). En las ecuaciones de Carroll, los índices ya tienen valores explícitos y no se contraen. No tiene sentido "contraer sobre 0 y 1" porque no se les pueden asignar valores.

La ecuación de Carroll se deduce de una contracción doble correcta,

$$F^{\mu\nu}=\eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}F_{\alpha\beta},$$

cuando configure $\mu=0$ y $\nu=1$ escribe la suma doble de 16 términos sobre los índices contraídos $\alpha$ y $\beta$ y utilizar el hecho de que todos los elementos no diagonales de la métrica de Minkowski y su inversa desaparecen. Después de hacer esto unas cuantas veces, puedes hacerlo en tu cabeza.

Sería instructivo comprender por qué contrayendo un tensor sobre a par de índices produce otro tensor, pero eso está fuera del alcance de esta pregunta en particular.