Límite de $\frac{n^{n/2}}{n!}$ como $n \rightarrow \infty$

Question

Lo sé. $n^n$ crece más rápido que $n!$ ya que ambos son productos de $n$ elementos pero $n^n$ tiene cada término igual a $n$ mientras que $n!$ tiene cada término decreciente por $1$ . Mi intuición es que este límite va a $0$ pero no estoy seguro de cómo demostrarlo rigurosamente.

Answer 1

Apliquemos la prueba de la proporción correspondiente a las series numéricas relacionadas: \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{(n+1)/2}}{(n+1)!}\times\frac{n!}{n^{n/2}} & = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{(n-1)/2}}{n^{n/2}}\\\\ & = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n/2}\times\frac{1}{\sqrt{n+1}}\\\\ & = \lim_{n\to\infty}\left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{1/2}\times\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\\\\ & = \sqrt{e}\times 0\\\\ & = 0 < 1 \end{align*}

por lo que el término general converge a cero.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Si $n=2k$ entonces \begin{align*} \dfrac{n^{n/2}}{n!}&=\dfrac{(2k)^{k}}{(2k)!}\\ &=\dfrac{k\cdots k}{(2k)\cdots(k+1)}\cdot\dfrac{2^{k}}{k!}\\ &\leq\dfrac{2^{k}}{k!}\\ &\rightarrow 0. \end{align*} Si $n=2k+1$ entonces \begin{align*} \dfrac{n^{n/2}}{n!}&=\dfrac{(2k+1)^{(2k+1)/2}}{(2k+1)(2k)^{k}}\cdot\dfrac{(2k)^{k}}{(2k)!}\\ &=\dfrac{1}{(2k+1)^{1/2}}\left(\dfrac{2k+1}{2k}\right)^{k}\dfrac{(2k)^{k}}{(2k)!}\\ &\rightarrow 0\cdot e^{1/2}\cdot 0\\ &=0. \end{align*}