¿Qué es un diccionario de formas de onda?

Question

Si busco en Google "waveform dictionary" o "waveform dictionaries" encuentro algunos trabajos que utilizan estos objetos matemáticos, p. ej. Análisis de datos sobre divisas mediante diccionarios de ondas . Por ejemplo, en el documento antes mencionado, podemos leer que

Un diccionario de formas de onda es una clase de transformadas que generaliza tanto las transformadas de Fourier con ventanas como las wavelets

De todos modos, parece que falta una definición matemática formal. ¿Qué es un diccionario de ondas? ¿Es un marco (es decir, la generalización de la base de Riesz)? Creo que no es una base porque debería ser sobrecompleta. Referencias, documentos, soluciones son bienvenidos.

Gracias.

Answer 1

Buscando al ponente que dio la charla que enlacé en mi comentario a tu pregunta, pude encontrar este artículo de Arxiv que da la siguiente definición explícita de un diccionario de formas de onda.

Sea $\gamma = (t,\xi ,u) \in \Gamma = \Bbb R_{>0} \times \Bbb R^2$ . A diccionario de ondas $\mathcal G$ es una colección de $L^2(\Bbb R)$ funciones de la forma $$ G_\gamma(x) = \frac 1{\sqrt{t}} g\left(\frac{x-u}{t}\right)e^{2 \pi i \xi x}, $$ donde $g \in L^2(\Bbb R)$ se denomina función de ventana que satisfaga $\|g\|_{L^2(\Bbb R)} = 1, g(0) \neq 0,$ y la integral de $g$ es distinto de cero. La función $G_\gamma$ se conoce como átomo de tiempo-frecuencia .

En comparación con un Sistema Gabor actuamos sobre la función ventana no sólo con operadores de desplazamiento temporal y de desplazamiento de frecuencia, sino también con algún tipo de operador de "dilatación temporal" $f(x) \mapsto \frac 1{\sqrt{t}}f(x/t)$ .

El documento también cita la siguiente referencia, que parece prometedora:

Ole Christensen et al. An introduction to frames and Riesz bases, volumen 7. Springer, 2003. Springer, 2003.