Para qué x la serie $\sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}(x+3)^n$ convergen?

Question

¿Cómo puedo determinar para qué $x$ la siguiente serie converge

$$\sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}(x+3)^n$$

Sospecho que aquí tendré que utilizar la prueba de comparación, pero no estoy seguro de cómo aplicarla.

Answer 1

Por la prueba de la proporción tenemos, como $n \to \infty$ , $$ \frac{\sqrt{n+1}(x+3)^{n+1}}{\sqrt{n}(x+3)^{n}}=\sqrt{1+\frac1n}\cdot(x+3) \to x+3 $$ entonces obtenemos una convergencia para $|x+3|<1$ .

Answer 2

Aplicación de la Prueba de la raíz revela

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{n\to \infty}\left|\sqrt{n}(x+3)^n\right|^{1/n}=|x+3|}$$

Obsérvese que, para llegar a este resultado, hemos utilizado $\lim_{n\to \infty}n^{1/n}=1$ .

La serie converge, por tanto, cuando $|x+3|<1$ y diverge para $|x+3|>1$ .

En $|x+3|=1$ los términos de la serie no se aproximan a cero y la serie diverge.