¿Cómo puedo cambiar los límites de la siguiente suma?

Question

Quiero cambiar el límite inferior de la suma con $k=0$ . $$\sum_{k=2}^{r+s-1} { \{ \begin{pmatrix} k-1\\r-1\\ \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} k-1\\s-1\\ \end{pmatrix} \} } H(k,r+s-k) $$

Aquí, quiero tomar la suma de $k=0$ . $$\sum_{k=2-\color{red}{2}}^{r+s-1-\color{red}{2}} $$ .

Entonces, ¿cómo puedo cambiar la parte central?

Sé cambiar los límites en una suma como la siguiente $$\sum_{i=x}^{y} f(i)=\sum_{i=x-a}^{y-a} f(i+a) $$ .

Y también hay otra propiedad $$\sum_{i=x}^{y} f(i,y)=\sum_{i=x+t}^{y+t} f(i-t,y-2t) $$ .

Pero a veces esto no funciona. ¿Podría explicar esto también?

Answer 1

Una forma de hacerlo es realizar una sustitución formal $\ell=k-2$ de modo que $k=\ell+2$ . Entonces

$$\sum_{k=2}^{r+s-1}\left(\binom{k-1}{r-1}+\binom{k-1}{s-1}\right)H(k,r+s-k)$$

se convierte automáticamente en

$$\sum_{\ell=0}^{r+s-3}\left(\binom{\ell+1}{r-1}+\binom{\ell+1}{s-1}\right)H(\ell+2,r+s-\ell-2)\;.$$

Si lo desea, ahora puede simplemente cambiar el nombre de $\ell$ volver a $k$ para obtener

$$\sum_{k=0}^{r+s-3}\left(\binom{k+1}{r-1}+\binom{k+1}{s-1}\right)H(k+2,r+s-k-2)\;.$$

Como comprobación parcial rápida, observe que el número superior de los coeficientes binomiales sigue siendo $1$ menor que el primer argumento de $H$ como debe ser, y los dos argumentos de $H$ todavía suman a $r+s$ como debe ser.

Añadido para cubrir la adición a la pregunta: Supongamos que partimos de la suma

$$\sum_{i=x}^yf(i,y)$$

y que $j=i+t$ de modo que $i=j-t$ . Haciendo la sustitución, vemos que

$$\sum_{i=x}^yf(i,y)=\sum_{j=x+t}^{y+t}f(j-t,y)\;,$$

y podemos renombrar $j$ volver a $i$ para encontrar que

$$\sum_{i=x}^yf(i,y)=\sum_{i=x+t}^{y+t}f(i-t,y)\;.$$

No hay cambios en el segundo argumento de $f$ porque $y$ es una constante: no depende en absoluto de la variable índice. El rango de valores de la variable índice depende de $y$ pero eso es otra cosa. La fórmula

$$\sum_{i=x}^{y} f(i,y)=\sum_{i=x+t}^{y+t} f(i-t,y-2t)$$

es simplemente erróneo.