Es la unión de todos los elementos de un $\sigma$ -campo igual a $\Omega$ ?

Question

Del libro de texto que estoy leyendo,

Una colección de subconjuntos $\mathscr{F}$ de $\Omega$ se denomina $\sigma$ -si se cumple:

1. conjunto vacío en $\mathscr{F}$

2. si $A_1, A_2, ... \in \mathscr{F}$ entonces la unión de $A$ existen en $\mathscr{F}$

3. si $A \in \mathscr{F}$ entonces $A^c\in\mathscr{F}$

y el más pequeño $\sigma$ -campo para $\Omega$ es la colección $\mathscr{F} = \{ \emptyset, \Omega \}$ .

Mi pregunta: ¿es la unión de todos los elementos del $\sigma$ -campo $\mathscr{F}$ equivalente a $\Omega$ ?

Answer 1

Trivialmente, sí, porque si $\emptyset\in\mathscr{F},$ entonces $\emptyset^C=\Omega\in\mathscr{F},$ por la primera y tercera propiedades que enumeras.

Por otra parte, la definición que conozco es la siguiente

1. $\mathscr{F}$ es cerrado bajo uniones contables
2. $\mathscr{F}$ es cerrado bajo intersecciones contables
3. $\mathscr{F}$ es cerrado bajo complementos

y $\mathscr{F}$ es un conjunto de subconjuntos de $\Omega.$ Sin embargo, como señala Juho, esta diferencia no importa, porque podemos convertir las intersecciones en uniones utilizando complementos: $A_1\cap A_2=(A_1^c\cup A_2^c)^c.$

Answer 2

Para demostrar que dos conjuntos $A$ y $B$ contengan los mismos elementos, es decir, que $A=B$ a menudo es conveniente mostrar la afirmación equivalente $A\subseteq B$ y $B \subseteq A$ Así que hagámoslo.

Sea $O$ sea la unión de todos los conjuntos de $\mathscr F$ . Por las propiedades 1 y 3, $\Omega \in \mathscr F$ y, así, $\Omega \subseteq O$ lo que demuestra la primera inclusión.

Para la segunda inclusión, basta con demostrar que si $A_i\in \Omega, \forall i \in \mathcal I$ para un conjunto de índices $\mathcal I$ entonces $\cup_i A_i \subseteq \Omega$ . Esto es así porque $O$ se define como la unión de elementos de $\mathscr F$ que son todos subconjuntos de $\Omega$ por definición.

Me parece esclarecedor pensar en lo que significaría que esto no fuera cierto. A saber, existiría un punto en la unión que no está en $\Omega$ . Pero si tal punto está en la unión, debe, por definición, estar también en uno de los conjuntos de la unión, y todos ellos son subconjuntos de $\Omega$ así que esto no puede ser. Concluimos $O\subseteq \Omega$ .

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Algunas notas sobre esta prueba: En los comentarios @whuber expresó la opinión de que la segunda inclusión es inmediata a partir de la definición de una unión de subconjuntos. No estoy en desacuerdo con este punto de vista, pero a menudo he encontrado el ejercicio de pensamiento anterior útil y lo hace, por lo que yo puedo decir, constituyen una prueba válida de la afirmación por lo que lo dejo en.