¿Alguien quiere dar cuatro ejemplos realmente interesantes de Kleisli categorías y sus mónadas asociados? También aceptaría categorías Eilenberg Moore.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Uno puede argumentar que Eilenberg–Moore categorías son las más interesantes de las dos categorías de álgebras asociadas con una mónada. El uso de Beck monadicity teorema, uno puede probar lo siguiente:
Teorema. Si $\mathbb{T}$ es una teoría algebraica, es decir, una teoría con un conjunto de finitary operaciones y un conjunto de (universalmente cuantificada) axiomas ecuacionales, entonces la categoría de modelos de $\mathbb{T}$ es monádico $\textbf{Set}$: esto significa que existe una contigüidad $$F \dashv U : \mathbb{T}\textbf{-Mod} \to \textbf{Set}$$ tal que $\mathbb{T}\textbf{-Mod}$ es equivalente (o, en este caso, isomorfo) a la Eilenberg–Moore categoría para la mónada $T = U F$$\textbf{Set}$.
Prueba de ello es, por ejemplo, en [CWM, Ch. VI, §8], y es ampliamente aplicable. Por ejemplo, podríamos tomar a $\mathbb{T}$ a ser la teoría de los grupos, o la teoría de anillos, o la teoría del derecho $R$-módulos para un determinado anillo de $R$... En este contexto, también se tiene una concreta interpretación de la Kleisli categoría de $T$: es (canónicamente) isomorfo al completo subcategoría de $\mathbb{T}\textbf{-Mod}$ atravesado por el estricto imagen de $T$. En efecto, recordemos que una de morfismos $X \to Y$ en el Kleisli se trata de una categoría de morfismos $X \to T Y$ en la categoría de base, pero no es natural bijection entre morfismos $X \to T Y$ e (homo)morfismos $F X \to F Y$.
He mencionado que el Kleisli categoría y Eilenberg–Moore categoría pueden coincidir. Esto debe ser interpretado con cuidado. Siempre hay un canónica functor de la Kleisli categoría a la Eilenberg–Moore categoría, pero esto rara vez es un isomorfismo de las categorías; más bien, lo que quiere decir es que este functor es parte de una equivalencia de categorías. Por ejemplo, si $k$ es un campo y $T$ es el "$k$- espacio vectorial" mónada, entonces el Kleisli y Eilenberg–Moore categorías para $T$ son canónicamente equivalente en el anterior sentido, pero no canónicamente isomorfo.
También hay mónadas que no provienen de los teoremas como el de arriba. Aquí es un "algebraica" ejemplo: supongamos $P : \textbf{Set} \to \textbf{Set}$ ser covariantes powerset functor, vamos a $\eta : \textrm{id} \Rightarrow P$ ser dada por el singleton mapa de $x \mapsto \{ x \}$, y deje $\mu : P^2 \Rightarrow P$ dado por el sindicato de operación $S \mapsto \bigcup S$. Puedo reclamar $P$ es una monada. Un $P$-álgebra es, como era de esperar, un cocomplete semilattice (es decir, de un orden parcial con todos suprema), y un homomorphism de $P$-álgebras es un cocontinuous (es decir, supremum-preservación) homomorphism de semilattices. Por lo tanto, la Eilenberg–Moore categoría de $P$ es isomorfo a la categoría de cocomplete semilattices y cocontinuous homomorphisms, y el Kleisli categoría de $P$ equivale a la subcategoría de libre cocomplete semilattices – es decir, la categoría de powersets y de la unión-la preservación de la monotonía de los mapas.
Ahora, parece moralmente claro que la teoría de la cocomplete semilattices es teoría algebraica en algún sentido, incluso a pesar de la evidente axiomatisation requiere una clase adecuada de las operaciones de arbitrariamente grande arity. Uno podría hacer este riguroso apelando a un universo axioma, pero algunas personas han decidido definir teoría algebraica a significar más o menos lo mismo que una mónada. Sin embargo, esto abre la puerta a algunos muy inesperado ejemplos de "algebraica" de las teorías. De hecho, aquí hay uno que sale a la derecha de topología general.
Deje $\beta : \textbf{Set} \to \textbf{Set}$ ser el ultrafilter mónada, donde la unidad de $\eta : \textrm{id} \Rightarrow \beta$ es el principal ultrafilter mapa, y $\mu : \beta^2 \Rightarrow \beta$ es el mapa que envía un ultrafilter $F$ en ultrafilters en $X$ para el conjunto de los subconjuntos $S$ $X$ de manera tal que el conjunto de todos los ultrafilters que contengan $S$ está contenido en $F$. Resulta que un $\beta$-álgebra es la misma cosa como un compacto Hausdorff espacio: a grandes rasgos, el mapa estructural $\lambda : \beta X \to X$ toma un ultrafilter en $X$ a el único punto converge. De hecho, dado un compacto Hausdorff espacio de $X$ y un ultrafilter $F$$X$, existe un punto cuya vecindad filtro es un subconjunto de a $F$ (compacidad) y es único (por el Hausdorff axioma). Por el contrario, si cada ultrafilter en un espacio topológico $X$ converge a un único punto, a continuación, $X$ debe ser un compacto Hausdorff espacio. El Kleisli categoría de $\beta$ es a su vez equivalente a la totalidad de la subcategoría de Piedra–Čech compactifications de conjuntos discretos.
Como era de esperar, hay una conexión entre monoids y mónadas. Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría monoidal. Para mayor claridad, vamos a suprimir la coherencia isomorphisms de $\mathcal{C}$. Supongamos $M$ es una interna de monoid en $\mathcal{C}$ con una unidad de $e : I \to M$ y la multiplicación $m : M \otimes M \to M$. Entonces, hay un inducida por la mónada $ - \otimes M : \mathcal{C} \to \mathcal{C}$, en donde la unidad está dada por $\textrm{id} \otimes e : X \to X \otimes M$, y la multiplicación está dado por $\textrm{id} \otimes m : X \otimes M \otimes M \to X \otimes M$. Un álgebra de esta mónada es llamado un derecho $M$-módulo. En el caso de $\mathcal{C} = \textbf{Ab}$, un monoid $M$ es la misma cosa como un anillo, y un derecho $M$-módulo en este sentido es la misma cosa como un derecho $M$-módulo en el sentido tradicional de la palabra!
En particular, si fijamos un conjunto $S$, hay un monoidal simétrica categoría $\textbf{Span}(S, S)$ cuyos objetos son triples $(X, s, t)$ donde $X$ es un conjunto y $s, t : X \to S$ son los mapas; el producto tensor $X \otimes X'$ está dado por la fibra de producto $\{ (x, x') \in X \times X' : s(x) = t'(x) \}$; un monoid en $\textbf{Span}(S, S)$ es la misma cosa como una pequeña categoría de $\mathbb{C}$ con subyacente objeto de establecer $S$, y un derecho $\mathbb{C}$-módulo es la misma cosa como una $S$-indexado de la familia de presheaves en $\mathbb{C}$. (Tenga en cuenta, sin embargo, que homomorphisms de monoids en esta categoría no son exactamente la misma cosa como functors; más bien, son functors que actúan como la identidad de los objetos.)
Por supuesto, no cada mónada en el $\mathcal{C}$ es de la forma anterior. Por ejemplo, si $\mathcal{C}$ ha contables de co-productos y $\otimes$ distribuye sobre el subproducto $\coprod$, entonces se puede definir un libre monoid mónada en el $\mathcal{C}$ dada por $$X \mapsto \coprod_{n \in \mathbb{N}} X^{\otimes n}$$ cuya álgebras son internos monoids en $\mathcal{C}$. Observe que las mónadas de la forma $- \otimes M$ admite un canónica tensorial de la fuerza que es un isomorfismo, mientras que la libre monoid mónada, en general, no.
Ahora, considere la categoría de $\textbf{End}(\mathcal{C})$ de endofunctors $\mathcal{C} \to \mathcal{C}$. Esta es una categoría monoidal en virtud de la composición de endofunctors, y un monoid en $\textbf{End}(\mathcal{C})$ es exactamente la misma cosa como una mónada en $\mathcal{C}$! Por otra parte, si $\mathcal{C}$ ha contables de co-productos, entonces no $\textbf{End}(\mathcal{C})$, y uno puede construir la libre mónada/monoid en cualquier functor que conserva contables de co-productos. En la cara de ella, parece que hemos construido una monada cuya álgebras también son mónadas, pero no creo que esto es muy útil en la práctica.
Finalmente, aquí está un consejo para la categoría de aprendizaje teoría: cuando se produce una definición, siempre preguntan qué significa, en el caso especial de un poset o un preorder. A menudo, las cosas se simplifican.
Así que echemos un vistazo a las mónadas en el posets. Si $X$ es un poset, a continuación, una mónada en $X$ es la misma cosa como un idempotente inflacionario monotono mapa de $T : X \to X$ – en otras palabras, un (Moore) cierre de operador. De hecho, un functor $X \to X$ es la misma cosa como una monótona mapa de $X \to X$, y la mónada axiomas implican $x \le T(x)$$T(T(x)) \le T(x)$, por lo que debemos tener $T(T(x)) = T(x)$. Uno puede comprobar que Eilenberg–Moore categoría y Kleisli categoría de $T$ son canónicamente isomorfo a la subposet de fixpoints de $T$.
MSalters
Puntos
74024
Otro ejemplo puede ser determinado de la siguiente manera: Vamos a $B$ ser un álgebra. Deje $W$ $B$- coalgebra, es decir, existe una coassociative $B$-bilineal comultiplication $\mu\colon W\to W\otimes_B W$ $B$- bilineal counit $\varepsilon\colon W\to B$. Esto es lo que se llama un bocs $\mathfrak{B}$ (bilineal sobre la categoría con coalgebra estructura) por algunas personas y $B$-coring $W$ por otros. En la teoría de la representación de finito dimensionales álgebras, esto es a veces visto como una generalización de las álgebras. El caso de álgebras de ser dado por $W=B$ $\mu\colon B\to B\otimes_B B$ el isomorfismo canónico y $\varepsilon$ el mapa de identidad (esto se denomina regular bocs).
Una monada $T$ está dado por $\operatorname{Hom}_B(W,-)\colon B-\operatorname{mod}\to B-\operatorname{mod}$. El Kleisli categoría de $T$ es entonces lo que algunas personas llaman a la categoría de módulos a través de la bocs $B$ (en el caso de un regular bocs coincide con la categoría de $B$-módulos). Bajo ciertas condiciones, es un buen subcategoría de la categoría de módulos a través de la doble álgebra de $W$, es decir,$R=\operatorname{Hom}_B(W,B)$, es decir, la categoría de la inducida por módulos, es decir, lo esencial de la imagen de $R\otimes_B -\colon B-\operatorname{mod}\to R-\operatorname{mod}$.
Sugiere la literatura incluyen:
- [Bautista, Kleiner: Casi split secuencias relativamente módulos proyectivos, Diario de álgebra, 1993]
- [Kleiner: Inducida por módulos y comodules y representaciones de BOCSs y Ped, Notas de la Conferencia en Matemáticas, 903, 1981]
- [Burt, Butler: Casi split secuencias para bocses, CMS Conf. Proc. 11, 1991]
Esta categoría se utiliza en la teoría de la representación para probar el famoso domar-wild dichotomoy teorema que indica que cada álgebra es mansos y salvajes. Aproximadamente se dice que se puede clasificar indecomposable módulos por un número finito de $1$-parámetro de familias en cada dimensión o no se puede clasificar. La idea muy aproximada de la prueba es que traducir la teoría de la representación de un álgebra $A$ a la teoría de la representación de una $B$-coalgebra $W$ para algunos otros $B$ (no regular bocs). Entonces, hay algún algoritmo para cambiar $W$ $B$ pero no cambiar su Kleisli categorías demasiado. Este algoritmo siempre se detiene con sólo un par de casos en la final que se han trabajado.
