Cómo demostrar que $E_\theta=-\frac{\partial V}{r \partial \theta}$

Question

Cómo demostrar que $$E_r=-\frac{\partial V}{\partial r}$$ y $$E_{\theta}=-\frac1r \frac{\partial V}{\partial \theta}$$

donde V es el potencial en el punto $(r,\theta)$ del dipolo.

Puedo tomar la componente del dipolo uno en el $E_r$ dirección y uno en $E_{\theta}$ dirección y utilizar la fórmula estándar, pero soy incapaz de obtener una intuición sobre cómo la fórmula anterior se mantiene.

Answer 1

Se podría decir que $$ \langle \frac{\partial}{\partial r}, \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}, \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\rangle $$ es el aspecto del operador de gradiente en coordenadas polares esféricas. He aquí un esbozo de una derivación:

A partir de ${\bf E} = -\nabla V$ imaginemos un desplazamiento infinitesimal (arbitrario) $d\bf r$ . Póngalo en ambos lados para obtener $$ {\bf E} \cdot d{\bf r} = -(\nabla V) \cdot d{\bf r} = -dV $$ por la definición de gradiente. Por otra parte, considerando $V = V(r, \theta, \phi)$ en función de la posición en coordenadas polares, $$ dV = \frac{\partial V}{\partial r}dr + \frac{\partial V}{\partial \theta}d\theta + \frac{\partial V}{\partial \phi}d\phi $$ del cálculo multivariable estándar. Por último, considere lo que $d\bf r$ está en coordenadas polares: con respecto a los vectores unitarios que apuntan en dirección creciente $r$ , $\theta$ y $\phi$ respectivamente, es $d{\bf r} = \langle dr, rd\theta, r\sin\theta d\phi \rangle$ (esto puede deducirse de las transformaciones estándar de coordenadas rectangulares a esféricas). A continuación, ${\bf E} \cdot d\bf r$ se convierte en

$$ {\bf E} \cdot d{\bf r} = E_r dr + E_\theta r d\theta + E_\phi r \sin\theta d\phi $$

Comparando las dos últimas ecuaciones, y considerando que $d\bf r$ fuera arbitraria, debemos tener coeficientes idénticos delante de cada diferencial de coordenadas:

$$\begin{align} E_r &= -\frac{\partial V}{\partial r} \\ E_\theta &= -\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta} \\ E_\phi &= -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial \phi} \end{align}$$

Para un dipolo cuyo eje pasa por los polos de las coordenadas esféricas, la simetría axial implica que $V$ no depende de $\phi$ y así $E_\phi = 0$ .

EDITAR : El siguiente es otro punto de vista, lo añado por si acaso, aunque no creo que sea lo que preguntabas. El potencial y el campo de un dipolo se pueden expresar en formas puramente vectoriales que tienen este aspecto: $$ V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\bf p \cdot r}{|r|^3} $$ $$ {\bf E} = -\nabla V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{3({\bf p\cdot r})\bf r}{|r|^5} - \frac{\bf p}{|r|^3}\right) $$

Se derivan utilizando la versión de cálculo vectorial de la expansión de Taylor, y dan los términos dominantes a grandes distancias no sólo para un dipolo formado por dos cargas puntuales, sino para un dipolo generalizado - una distribución de carga localizada con carga neta cero y un momento dipolar $$ {\bf p} = \int {\bf r} dq = \int {\bf r}\rho({\bf r}) dV $$ donde $\rho$ es la densidad de carga y la integral de volumen es sobre la región del espacio donde se distribuye la carga.

Utilizando lo anterior, se podría obtener $E_r$ y $E_\theta$ por puntos $\bf E$ con $\hat r$ y $\hat\theta$ y luego convéncete de que las expresiones que obtienes son las mismas que las respectivas derivadas parciales de $V$ cuando ésta se expresa en términos de $r$ y $\theta$ .