Un problema de transformación lineal .

Question

Si $V$ y $W$ son dos espacios vectoriales de dimensión finita y $\operatorname T$ y $\operatorname S$ sean dos mapas lineales invertibles de $V$ a $W$ donde $\operatorname T$ y $\operatorname S$ tienen la misma representación matricial wrt diferentes bases ordenadas de $V$ y $W$ .

Demuestre que existen dos mapas lineales invertibles $\operatorname{P}\colon V\longrightarrow V$ y $\operatorname{Q}\colon W\longrightarrow W$ tal que $\operatorname T = \operatorname{Q^{-1}}\operatorname{S}\operatorname{P}$ .

En realidad, estaba probando considerando mapas de identidad de $V$ en $V$ wrt bases ordenadas $V_1$ y $V_2$ y lo mismo para $W_1$ y $W_2$ pero no pudo avanzar más.

Obviamente, en primer lugar, tengo que llegar a $V_2$ de $V_1$ entonces $W_2$ de $V_2$ y luego $W_1$ de $W_2$ para que la composición de los mapas sea igual a $\operatorname T$ es decir, de $V_1$ a $W_1$ .

Answer 1

Entonces, tienes dos bases $B$ y $B^\star$ de $V$ y dos bases $C$ y $C^\star$ de $W$ y estás asumiendo que la matriz de $T$ con respecto a la base $B$ y $C$ es igual a la matriz de $S$ con respecto a la base $B^\star$ y $C^\star$ . Sea $M$ sea esta matriz. Sea $P\colon V\longrightarrow V$ sea el endomorfismo lineal de $V$ que asigna el $k$ th vector de $B$ en el $k$ th vector de $B^\star$ . Y que $Q\colon W\longrightarrow W$ sea el endomorfismo lineal de $W$ que asigna el $k$ th vector de $C$ en el $k$ th vector de $C^\star$ . Entonces $T=Q^{-1}SP$ ya que la matriz de ambos mapas lineales respecto a las bases $B^\star$ y $C^\star$ son iguales a $M$ .