¿Es todo anillo finito un álgebra de matrices sobre un anillo conmutativo?

Question

En esta respuesta MO se afirma que todo anillo finito es una suma directa de álgebras de dimensión finita sobre $\mathbb{Z}/p^k$ para variar $p$ y $k.$ Lo que me pregunto es lo siguiente:

• ¿Puede todo anillo finito $R$ como un subring de $\text{Mat}_{n\times n}A$ para algún anillo conmutativo $A$ ?

• Si no es así, ¿cuál o cuáles son los anillos más pequeños que no pueden serlo?

Lo siento si esta pregunta es trivial por alguna razón (¿algo como la representación regular o la representación de permutación?), o si debería haber hecho una pregunta sobre álgebras, o ideales, o módulos, en su lugar.

Answer 1

Aparentemente la respuesta es no y el contraejemplo más pequeño tiene orden $2^5 = 32$ . Sospecho que es $\text{End}(\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_4)$ pero no me cites. (Observando la acción de un anillo finito sobre sí mismo por multiplicación por la izquierda se puede reducir la cuestión a anillos de endomorfismo de grupos abelianos finitos, y observando cada primo por separado se puede reducir la cuestión a anillos de endomorfismo de grupos abelianos finitos). $p$ -grupos. Ese anillo de arriba es el más simple de tales anillos que no es ya un anillo matriz).