Sea ${X_i}$ sea una secuencia de variables aleatorias que sigue la distribución Bernoulli con $Bernoulli(\frac1i)$ para cada $i = 1,...,n$ . En otras palabras, $P(X_i=1) = \frac 1i$ y $P(X_i=0) = 1 - \frac 1i$ para cada $i = 1,...,n$ . Demuestre que $X_n$ tiende en probabilidad a $0$ .
No tengo ni idea de cómo empezar con esto, así que cualquier consejo sería de gran ayuda.
Mi profesora acaba de hablar de la ley de los grandes números, de la convergencia en probabilidad y de cómo debe ser un buen estimador (insesgado, eficiente y coherente), pero creo que hablo en nombre de toda la clase cuando digo que hemos entendido poco de lo que estaba enseñando.
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En primer lugar, me gustaría dar las gracias a todas las personas que me han dado pistas sobre cómo resolver este problema y que han revisado mis propuestas.
Esta es mi respuesta:
Mostrar $X_n \to 0$ debemos tratar de demostrar $P(|X_n - 0| > \epsilon) = 0$ para cualquier $\epsilon$ . Entonces, puesto que $X_n$ sigue una distribución Bernoulli, por lo que $X_n$ sólo puede tomar valores enteros no negativos. Por lo tanto, $P(|X_n - 0| > \epsilon) = P(X_n > \epsilon)$ . Ahora, hago uso de la desigualdad de Markov, por lo que $P(X_n > \epsilon) \leqslant \frac 1\epsilon E(X_n) = \frac 1\epsilon \frac 1n$ . En $n \to \infty$ , $\frac 1n \to 0$ Así que $P(|X_n - 0| > \epsilon) = 0$ y podemos concluir que $X_n$ tiende en probabilidad a $0$ .
Cualquier otro comentario sobre cómo puedo mejorar esta respuesta será bienvenido :) o si alguien tiene alguna otra forma más elegante de responder a la pregunta, ¡también será bienvenida!
