Cómo realizó Hardy este paso para demostrar que dos surds son disímiles si son enteros cuadrados no perfectos sin factor común

Question

Visión general

Estoy intentando replicar una prueba que Hardy proporciona en su libro - Un Curso de Matemáticas Puras, pero estoy teniendo problemas con uno de los pasos. Me preguntaba si alguien puede explicar cómo hizo un paso en la prueba.

Declaración

Si $M$ y $N$ son números enteros que no tienen ningún factor común y ninguno de los cuales es un cuadrado perfecto, $\sqrt{M}$ y $\sqrt{N}$ son surds disímiles.

Sus pruebas hasta el punto de confusión

Supongamos que $\sqrt{M}$ y $\sqrt{N}$ son surds similares. Entonces podemos escribirlas como: $\sqrt{M}=\dfrac{p}{q} \sqrt{\dfrac{t}{u}}$ y $\sqrt{N}=\dfrac{r}{s} \sqrt{\dfrac{t}{u}}$

Entonces $\sqrt{MN}$ es evidentemente racional, y por tanto (por un ejemplo anterior) integral.

El ejemplo al que se refiere

Una ecuación algebraica,

$x^n+p_1 x^{n-1} +p_2 x^{n-2}+...+p_n=0$

con coeficientes integrales, no puede tener una raíz racional pero no integral.

Mi pregunta

¿Cómo pudo Hardy determinar que $\sqrt{MN}$ ¿era integral de ese ejemplo al que se refería?

Answer 1

Porque $\:x = \sqrt{MN}\:$ es una raíz de $\:x^2 - MN = 0\:$ por lo que, siendo racional, es integral, por dicho teorema (que se conoce como la prueba de raíz racional).

Answer 2

Queremos demostrar que si $C$ es un número entero, y $\sqrt{C}$ es racional, entonces $\sqrt{C}$ es un número entero.

Así que queremos demostrar que cualquier solución racional de la ecuación $x^2-C=0$ es en realidad un número entero.

Sea $\frac{a}{b}$ sea una solución racional de la ecuación. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\frac{a}{b}$ está en términos mínimos, es decir, que ningún número entero $\gt 1$ es un divisor común de $a$ y $b$ . También podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que $b$ es positivo.

Sustituyendo en la ecuación, encontramos que $\left(\frac{a}{b}\right)^2-C=0$ .

Multiplicar por $b$ . Encontramos que $$a^2=b^2C.$$ Ahora dejemos que $p$ sea cualquier divisor primo de $a^2$ . Desde $a^2=b^2 C$ el primer $p$ debe dividir $a^2$ por lo que debe dividir $a$ . Esto es imposible, ya que $\frac{a}{b}$ está en los términos más bajos.

Concluimos que $b$ tiene no divisores primos, lo que significa que $b=1$ . De ello se deduce que $C=a^2$ un cuadrado perfecto, así que $\sqrt{C}=a$ un número entero.

Observación: El argumento que utilizamos para la ecuación polinómica $x^2-C=0$ puede, sin modificaciones significativas, utilizarse para demostrar el teorema sobre $$x^n+p_1 x^{n-1} +p_2 x^{n-2}+\cdots+p_n=0$$ que has citado. Una vez que ha sido probado puede ser aplicado a nuestra ecuación particular $x^2-C=0$ .