Sobre el haz de líneas en curvas situadas sobre una superficie

Question

Sea $C$ sea una curva suave irreducible sobre una superficie algebraica compleja $X$ y $L$ sea un haz de líneas libres de punto base sobre $C$ tal que tenemos $H^0(L) \otimes H^0(\mathcal O_X(m)) \hookrightarrow H^0(L(m))$ para algún positivo $m$ . Supongamos también que $H^0(L), H^0(\mathcal O_X(m)) \neq 0$ y $\text{deg}(L(m)) >0$ .

Entonces mi pregunta es : ¿Bajo qué condición(es) (cohomológica(s) o de otro tipo) en el haz de líneas $L$ ¿la inclusión anterior se convierte en un isomorfismo?

Una respuesta obvia es asumir $H^0(L(m)) =0$ Pero estoy buscando otra(s) condición(es).

Cualquier ayuda de cualquier persona es bienvenida.

Answer 1

En su pregunta, $X$ no desempeña ningún papel. No estoy seguro de qué tipo de respuesta está buscando.

Uno tiene una secuencia exacta, $0\to E\to H^0(L)\otimes O_C\to L\to 0$ ya que $L$ no tiene punto base. Tensado con $O_C(m)$ y tomando secciones globales, se tiene $0\to H^0(E(m))\to H^0(L)\otimes H^0(O_C(m))\to H^0(L(m))\to H^1(E(m))\to H^0(L)\otimes H^1(O_C(m))$ . Su suposición dice $H^0(E(m))=0$ . Por lo tanto, la subjetividad requerida es equivalente a $H^1(E(m))\to H^0(L)\otimes H^1(O_C(m))$ siendo inyectiva.