Demostrar que $ 1.462 \le \int_0^1 e^{{x}^{2}}\le 1.463$

Question

Demuestra la siguiente desigualdad integral:

$$ 1.462 \le \int_0^1 e^{{x}^{2}}\le 1.463$$

Esto es un problema de instituto. Hasta ahora he conseguido demostrar que la integral es mayor que $1.462$ utilizando la expansión de Taylor, a saber $$1.462\le 1.4625=\int_0^1 1+x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{24}+\frac{x^{10}}{120}\le \int_0^1 e^{{x}^{2}}$$ Para el atado correcto sigo buscando la manera. Sin embargo, me pregunto si hay una manera elegante de resolver ambos lados.

Answer 1

Se puede utilizar el teorema de Taylor con error. Vas por buen camino.

Supongamos que estamos creando un polinomio de Taylor sobre $a$ . Existe un teorema que afirma que si, para números fijos $$m \le f^{n+1}(t) \le M$$ para todos $t$ en algún intervalo que contenga $a$ entonces el error $E(x)$ satisface las desigualdades $$\frac{m(x-a)^n}{(n+1)!} \le E(x) \le \frac{M(x-a)^n}{(n+1)!}$$ para $x>a$ . (Este es el teorema 7.7 en Cálculo de Apostol Vol. 1)

Para nuestro problema, utilizamos un polinomio de Taylor centrado en $0$ Así que $a=0$ . Tome el intervalo $[0,1]$ . Entonces, tenemos los límites $0 \le f^{2n}(t) \le \frac{(2n)!}{n!}$ .

Sustituyendo $2n$ para $n+1$ y $2n-1$ para $n$ obtenemos $$0 \le E(x) \le \frac{x^{2n-1}}{n!}$$

Integrando el error, obtenemos $$0 \le \int_0^1 E(x) dx \le \frac{1}{n!\cdot 2n}$$

Es importante señalar que $n$ es $(d-1) / 2$ donde $d$ denota el grado del polinomio, porque hemos sustituido $2n$ en lugar de $n+1$ .

Answer 2

Integrando la serie de potencias para $e^{x^2}$ término por término, se obtiene $$ \int_0^1e^{x^2}\,\mathrm{d}x=\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2k+1)k!} $$ Desde $$ \begin{align} \sum_{k=n+1}^\infty\frac1{(2k+1)k!} &\le\frac1{(2n+3)(n+1)!}\left[1+\frac1{n+2}+\frac1{(n+2)^2}+\dots\right]\\ &=\frac1{(2n+3)(n+1)!}\frac{n+2}{n+1}\\ &\le\frac1{(2n+1)(n+1)!} \end{align} $$ Si utilizamos $n=5$ en $$ \sum_{k=0}^n\frac1{(2k+1)k!}\le\int_0^1e^{x^2}\,\mathrm{d}x\le\frac1{(2n+1)(n+1)!}+\sum_{k=0}^n\frac1{(2k+1)k!} $$ obtenemos $$ 1.4625300625\le\int_0^1e^{x^2}\,\mathrm{d}x\le1.4626563252 $$

Answer 3

A continuación se muestra cómo hallar el límite superior, la integración por partes da

$$ \int _{0}^{1}\!{{\rm e}^{{x}^{2}}}{dx}={{\rm e}}-\int _{0}^{1}\!2 \,{x}^{2}{{\rm e}^{{x}^{2}}}{dx}$$

Utilizando el hecho de que

$$ 2\,{x}^{2}+2\,{x}^{4}+{x}^{6}+1/3\,{x}^{8}+1/12\,{x}^{10}+{\frac {1}{ 60}}\,{x}^{12}\leq 2\,{x}^{2}{{\rm e}^{{x}^{2}}}$$

da

$$ \int _{0}^{1} (\!2\,{x}^{2}+2\,{x}^{4}+{x}^{6}+1/3\,{x}^{8}+1/12\,{x}^{ 10}+{\frac {1}{60}}\,{x}^{12}){dx}\leq \int _{0}^{1}\!2\,{x}^{2}{ {\rm e}^{{x}^{2}}}{dx}\,,$$

ya que ambas funciones son positivas. Multiplicando ambos lados de la desigualdad anterior por -1, se obtiene,

$$-\int _{0}^{1}(\!2\,{x}^{2}+2\,{x}^{4}+{x}^{6}+1/3\,{x}^{8}+1/12\,{x}^{ 10}+{\frac {1}{60}}\,{x}^{12}){dx}\geq -\int _{0}^{1}\!2\,{x}^{2}{ {\rm e}^{{x}^{2}}}{dx}$$

sumando e a ambos lados de la última desigualdad se obtiene

$$ e-\int _{0}^{1}(\!2\,{x}^{2}+2\,{x}^{4}+{x}^{6}+1/3\,{x}^{8}+1/12\,{x}^{ 10}+{\frac {1}{60}}\,{x}^{12}){dx}\geq e-\int _{0}^{1}\!2\,{x}^{2}{ {\rm e}^{{x}^{2}}}{dx}$$

Evaluando la integral de la serie de potencias aproximada se obtiene el límite superior

$$ \int _{0}^{1}\!{{\rm e}^{{x}^{2}}}{dx} = e-\int _{0}^{1}\!2\,{x}^{2}{ {\rm e}^{{x}^{2}}}{dx} \leq 1.462863173 < 1.463 $$