Distribución de probabilidad de $aX + b$ donde a y b son números enteros y $X$ es una variable uniforme

Question

Mi libro de texto tiene el siguiente ejemplo introductorio sobre funciones de variables aleatorias:

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria continua con una distribución uniforme en el intervalo $(0,1)$ . Determinar la distribución de $Y = aX + b$ où $a$ y $b$ son enteros distintos de cero.

La solución proporcionada en el libro de texto no viene acompañada de ninguna explicación y difiere de la que yo obtuve al final. ¿Cuál es la forma correcta de resolver este problema?

Answer 1

Para $t \in (b, a + b)$ y $a > 0$ tenemos $$\begin{align} P(aX + b \leq t) &= P \left ( X \leq \frac{t - b}{a} \right ) \\ &= \frac{t - b}{a} . \end{align}$$ En $a < 0$ $$\begin{align} P(aX + b \leq t) &= P \left ( X \geq\frac{t - b}{a} \right ) \\ &= 1 - P \left ( X < \frac{t - b}{a} \right ) \\ &= 1 - \frac{t - b}{a} \end{align}$$ que es una función de distribución uniforme en ambos casos.

Answer 2

También puede hacerlo a través de cambio de variables .

En primer lugar, hallar la cartografía inversa de $g(X)=aX+b$ , $g^{-1}(Y)=(Y-b)/a$ .

La densidad de $Y$ viene dada, en general, por $$f_Y(x)=f_X(g^{-1}(x))|g^{-1'}(x)|$$ Ahora, $g^{-1'}(x)=1/|a|$ . Comme $f_X\equiv1$ obtenemos $$f_Y(x)=1/|a|,$$ una densidad uniforme (en $[a,b]$ ).

Al tomar la derivada en la respuesta de @dsaxton, vemos que las soluciones coinciden.