Cómo contar microestados en mecánica estadística cuántica

Question

Según el postulado fundamental de la mecánica estadística (hasta donde yo sé), tomamos como igual la probabilidad (clásica) de que un sistema se encuentre en cualquiera de sus microestados (si el sistema está en equilibrio y aislado). Mi pregunta es, ¿cómo contamos el número de microestados? Por lo que veo, el número de microestados suele ser el número de eigenestados energéticos linealmente independientes del Hamiltoniano para ese valor particular de energía. Sin embargo, no veo por qué este es el "número" de microestados. ¿Se supone que debemos imaginar el conjunto microcanónico como un sistema cuántico macroscópico para el que hemos medido la energía? En ese caso, el sistema podría estar en cualquiera de un número (incontablemente) infinito de superposiciones lineales de sus eigenestados energéticos degenerados. En otras palabras, el vector de estado podría ser cualquier vector en el eigenespacio de energía degenerada.

Entonces, ¿por qué se nos permite contar el número de estados como el número de eigenestados energéticos linealmente independientes, cuando ni siquiera sabemos si el sistema estaría en un eigenestado (sino sólo en alguna combinación lineal)? Y como consecuencia directa de este método de recuento, parece que asignamos una probabilidad distinta de cero sólo a que el sistema esté en eigenestados energéticos, e ignoramos la posibilidad de que pueda estar en una superposición.

Answer 1

Resumen: la pregunta "¿cuál es la probabilidad del estado $|\psi \rangle$ "es la pregunta equivocada, porque es inobservable experimentalmente. Lo que realmente importa son los resultados de las mediciones, y el número de posibles resultados diferentes de las mediciones es igual al número de microestados.

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Consideremos un montón de partículas de espín 1/2 no interactuantes en equilibrio térmico, y observemos un solo espín en su interior.

A nivel clásico, en equilibrio térmico, el espín de esta partícula debería ser un vector con dirección aleatoria. Ahora podríamos preguntarnos, a nivel cuántico, ¿cuál es el estado de esta partícula?

Sin embargo, es una pregunta equivocada. Dado que cualquier espinor $|\psi \rangle$ es posible encontrar un eje $\mathbf{n}$ para que $|\psi\rangle$ es el estado propio positivo de $S_{\mathbf{n}}$ es decir, el giro es definitivamente hacia arriba a lo largo de $\mathbf{n}$ . Así pues, los elementos individuales del espacio de Hilbert son insuficientes para representar un estado térmico.

En su lugar, tenemos que hacer lo mismo que hicimos en el caso clásico: sustituir el estado de un sistema (es decir. $(\mathbf{x}, \mathbf{p})$ clásica y $|\psi \rangle$ en cuántica) con una distribución de probabilidad sobre esos estados. Una de estas distribuciones de probabilidad es $$50\% \text{ chance } |\uparrow \rangle, \quad 50\% \text{ chance } |\downarrow \rangle.$$ Lo milagroso es que esta distribución es invariante rotacionalmente. Es decir, las distribuciones $$50\% \text{ chance } | \mathbf{n} \rangle, \quad 50\% \text{ chance } |-\mathbf{n}\rangle$$ son indistinguibles por medición para cualquier dirección $\mathbf{n}$ . Cada medición de espín de cualquier $\mathbf{n}$ conjunto, junto con cualquier dirección $\mathbf{m}$ da un resultado de 50/50.

Esto nos dice que la descripción correcta de un conjunto térmico de partículas cuánticas no puede ser una asignación de probabilidades a estados cuánticos, porque tal construcción no es única: hay muchas distribuciones de probabilidad que son experimentalmente indistinguibles. (La cantidad que corresponde a las distribuciones de probabilidad "hasta la distinguibilidad" se llama matriz de densidad $\rho$ .)

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Con esta configuración, las respuestas a tus preguntas son:

• ¿Por qué no consideramos las superposiciones? Lo hacemos. No se puede preguntar directamente "¿cuál es la probabilidad de que el sistema esté en el estado $|\psi \rangle$ ", porque ésta no es una cantidad observable experimentalmente, como se ha explicado anteriormente. Pero se puede realizar una medición de un operador $\hat{A}$ con vector propio $|\psi \rangle$ y el valor propio $\lambda$ y hay alguna probabilidad de que obtengas $\lambda$ .
• ¿Por qué contamos los microestados? Es la dimensión de nuestro espacio de Hilbert, o más físicamente, el número de números diferentes que se pueden obtener al medir $\hat{A}$ . En el ejemplo anterior, la probabilidad de obtener $\lambda$ es $1/2$ donde $2$ es el número de microestados. No estamos privilegiando los estados de spin up o spin down, porque tienes un 50/50 de posibilidades para cualquier operador de spin $S_{\mathbf{n}}$ .
• ¿Por qué contamos específicamente los eigenestados energéticos? Es sólo por comodidad. Lo que realmente queremos es la dimensión del espacio de Hilbert, y $\hat{H}$ suele ser fácil de tratar/razonar.

Answer 2

En primer lugar, independientemente del ensamble, si quieres una matriz de densidad que describa un estado de equilibrio, entonces tiene que conmutar con el hamiltoniano (véase el teorema de Liouville para QM). Esto significa que tanto la matriz de densidad como el hamiltoniano pueden diagonalizarse en la misma base y, por lo tanto, el sistema se encuentra efectivamente en una mezcla estadística de estados propios de energía.

Ahora bien, si el sistema está en el conjunto microcanónico entonces "contar microestados" significa contar cuántos términos distintos de cero tiene la matriz de densidad en su diagonal. Por eso no tienes en cuenta otros estados posibles como superposiciones de eigenestados energéticos. Necesitas contar también los términos diagonales de la matriz de densidad escrita en una base particular que diagonaliza el hamiltoniano.

Answer 3

Los fundamentos de la mecánica estadística son a veces más fáciles de entender para los sistemas clásicos de estado finito, como una red de sistemas clásicos de dos estados (bits) utilizados para modelar los espines en un material magnético. En $n$ bits que tiene $2^n$ distintos estados posibles. Si existen restricciones macroscópicas, como campos externos que influyan en las probabilidades de que cada bit sea un 0 o un 1, el número efectivo de bits será menor.

Se puede considerar que la mecánica estadística cuántica generaliza esta idea, contando de nuevo el número finito de estados perfectamente distintos (mutuamente ortogonales) que se pueden construir con unas restricciones macroscópicas dadas. Esto es lo mismo que la dimensionalidad efectiva del espacio de Hilbert, ya que una base es un conjunto de estados mutuamente ortogonales.

El punto de vista de que los sistemas cuánticos generalizan los clásicos de estado finito resulta familiar si se ha pensado en los ordenadores cuánticos, que incluyen la computación clásica como un caso especial. Un punto de vista más tradicional podría ser que el recuento finito de estados distintos es una invariante que sobrevive a la decoherencia, lo que crea una distribución de probabilidad clásica sobre un conjunto finito concreto de estados cuánticos distintos definido por el proceso de decoherencia.