Parece bastante sencillo, pero mi libro parece estar dando una respuesta incorrecta sin ninguna explicación a su magia.
$$y = \frac{1}{x^2 + 2}$$
Sé que esto no tiene 0 por lo que la regla de encontrar un número crítico puede ser descartada.
$$y = (x^2 + 2)^{-1}$$
$$y' = -1(x^2 + 2)^{-2}\cdot 2x$$
$$y' = \frac{-2x}{(x^2 + 2)^{2}}$$
Así que ahora no estoy tan seguro de cómo mi libro obtuvo c = 0.
$$y' = \frac{-2x}{(x^2+2)^2}$$
Los puntos críticos se producen siempre y cuando existan valores de $x$ que hacen derivado de la función igual a cero. (Es decir, se encuentran los "ceros" de la función, si los hay).
También se comprueba si hay puntos en los que la función no es diferenciable. El denominador de la función $y$ y la derivada $y'$ están definidos (y son positivos) para todos los números reales: El denominador $(x^2 + 2)^2 \gt 0$ para todos $x$ .
Así que aquí, los únicos puntos que tenemos que considerar son los ceros de la derivada.
En este caso, $\;y' = 0 \iff $ el numerador es cero . El numerador es cero si y sólo si $$-2x = 0 \iff x = 0$$ Así que hay un punto crítico en el que $x = 0$ siendo el punto $(x,y) = (0, 1/2)$ .
Una fracción es cero sólo si el numerador es cero y el denominador no lo es. El denominador, $(x^2+2)^2$ nunca es cero, sea cual sea el número $x$ es. Así que la pregunta es: ¿qué debe $x$ estar en orden que el numerador, $-2x$ ¿ser cero? En otras palabras, ¿cómo resolver esta ecuación para $x$ : $$ -2x=0. $$ Divide ambos lados por $-2$ : $$ x = \frac{0}{-2}. $$ Ahora el problema es: ¿qué se obtiene al dividir $0$ por $-2$ ?
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