Número de formas de elegir $3$ cuadrados en un $n$ por $n$ dadas las siguientes restricciones

Question

¿De cuántas maneras puede $3$ cuadrados se eligen de una $n$ por $n$ cuadrícula de forma que no haya dos cuadrados elegidos en la misma fila o columna?

He averiguado que la fórmula general para el problema anterior es: $$ \cfrac{\dbinom {n^2}{ 1} \cdot \dbinom {(n-1)^2}{1} \dbinom {(n-2)^2}{1}}{3!}$$ al darme cuenta de que, sea cual sea la casilla que elija, la siguiente puede colocarse en una casilla inferior. $n-1$ por $n-1$ cuadrado, etc.

Pero cuando intento el siguiente enfoque obtengo la respuesta incorrecta:

Podemos elegir $3$ lugares distintos para los cuadrados eligiendo filas y columnas distintas. Para ello podemos elegir $ \dbinom{n}{3}$ filas y $\dbinom {n}{3} $ columnas, por lo que tenemos en total $\dbinom {n}{3} \cdot \dbinom {n}{3} $ formas de realizar esta tarea.

Sin embargo esta respuesta es errónea, y no puedo entender lo que no estoy contando. ¿Qué me falta?

Answer 1

Tu único error es no multiplicar tu segunda respuesta por ¡3! para el número de formas en que una fila puede enlazarse con una columna.

Las plazas podrían estar dentro: $(r_1,c_1) \&(r_2,c_2)\&(r_3,c_3)$ o $(r_1,c_1) \&(r_2,c_3)\&(r_3,c_2)$ o $(r_1,c_2) \&(r_2,c_1)\&(r_3,c_3)$ o $(r_1,c_2) \&(r_2,c_3)\&(r_3,c_1)$ o $(r_1,c_3) \&(r_2,c_1)\&(r_3,c_2)$ o $(r_1,c_3) \&(r_2,c_2)\&(r_3,c_1)$ .

$$\cfrac{\dbinom {n^2}{ 1} \cdot \dbinom {(n-1)^2}{1} \dbinom {(n-2)^2}{1}}{3!}= 6\times\dbinom {n}{3} \cdot \dbinom {n}{3} $$