Este es un soft que se trate. He encontrado dos muy diferentes pruebas de lo que parece", básicamente, el mismo teorema," y yo quiero entender cómo se relacionan y "cuál es la verdadera explicación." Por favor, perdona mi falta de precisión de aquí, pero estoy muy interesado en sus pensamientos.
En Shafarevich del Básico de la Geometría Algebraica I, Cap. 1 Segundo 5.3, está demostrado que un número finito de mapa ha finito de fibras, es decir:
Deje $X,Y$ ser quasiprojective variedades a través de una algebraicamente cerrado campo de tierra $k$, y deje $f:X\rightarrow Y$ ser un mapa que es finito en el sentido de que $Y$ admite una cubierta afín a abrir los subconjuntos $V$ tal que $U=f^{-1}(V)\subset X$ es afín para cada una de las $V$, y tenemos $f^*:k[V]\rightarrow k[U]$ es una integral anillo mapa. A continuación, $f^{-1}(p)$ es un conjunto finito de $p\in V$.
La prueba es que desde el anillo de mapas integral, la de coordinar las funciones en $X$ satisfacer polinomios sobre los pullbacks de la coordenada funciones en $Y$, que se convierten en reales de polinomios sobre $k$ cuando un punto de la imagen en $y$ en un determinado $V$ es elegido. Estos polinomios límite de las coordenadas en $X$ a un conjunto finito de valores.
Mientras tanto, en Atiyah y MaDonald la Introducción al Álgebra Conmutativa, Ch. 5 Ejercicios 12-15, el "mismo resultado", se establece en un entorno diferente, a saber:
Si $A$ es integralmente cerrado de dominio, $K=\operatorname{Frac}A$, $L$ es un campo finito de extensión de $K$, e $B$ $A$'s integral de cierre en la $L$, entonces el mapa de $\operatorname{Spec}B\rightarrow \operatorname{Spec}A$ proveniente de la inclusión $A\hookrightarrow B$ ha finito fibras.
La prueba es completamente diferente. Nos fijamos en $L$ como puramente inseparable de extensión de una extensión separable de $K$ y manejar cada una de las extensiones por separado. Para el separables de extensión, se incrusta en su Galois de cierre y demostrar que el grupo de Galois (que es finito) actúa transitivamente sobre las fibras del mapa. El argumento se utiliza un formulario de la Va-Up Teorema y el lema de que si un ideal está contenida en una unión finita de primer ideales, es totalmente contenida en uno de ellos. Para la parte inseparable, nos muestran el uso de un cálculo que el mapa de la $\operatorname{Spec}$s en realidad es inyectiva.
Obviamente, el alcance de las dos frases es un poco diferente. Para el propósito de esta pregunta, no me importa acerca de las diferencias que viene de el hecho de que Shafarevich es tratar con quasiprojective más que afín variedades, así que vamos a imaginar que en el afín caso. Entonces él se ocupa exclusivamente de la finitely generan álgebras de más de un algebraicamente cerrado de campo, pero no creo que él necesita para hacer cualquier suposición de integral de cierre o domainhood. Y su argumento es tratar sólo con los puntos cercanos de la $\operatorname{Spec}$. Mientras tanto, Atiyah y MacDonald insistir en que comienzan con una integralmente cerrado de dominio, pero no hay ninguna suposición de que hay algún problema algebraicamente cerrado, campo en el que todo es una f.g. el álgebra.
Sin embargo, los dos libros parecen estar tratando de decirme, en cierto sentido, "la misma historia". Sin embargo, en un caso, obtenemos el resultado de que el hecho básico de que el grado de un polinomio límites al número de sus raíces sobre un campo (aunque el Nullstellensatz está sentado en el fondo de identificar los puntos cercanos de la $\operatorname{Spec}$ con tuplas de la materia), mientras que en el otro caso tenemos que llevar a un grupo de Galois y un caso de manipulación de la separables vs puramente inseparable extensiones dentro de ella!
¿Qué es "la verdadera historia" de aquí? I. e.:
Cómo general es el resultado? Es cierto para un mapa arbitrario de esquemas? Y lo que es la general de la prueba? ¿Cómo se relacionan estas dos pruebas? Hay una "moral", argumento que subsume tanto de estos argumentos? ¿Cómo se puede solucionar esto para ti?
De nuevo, perdón por la suavidad. Espero que la pregunta va a ser de su interés, en cualquier caso.
