Me dieron el PDF $f_T(t)=Cte^{-t/2}I_{[0,\infty)}(t)$ "con cierta redundancia" como se indica en el problema, ¿qué implica eso exactamente? Necesito encontrar la FCD para resolver la pregunta. Sé que tengo que tomar la integral de la PDF para encontrar la FDA. Pero la función indicadora, concretamente $[0,\infty)$ me hace dudar del intervalo de integración. ¿Se integraría el PDF a partir de $0$ a $t$ ? ¿O de otro modo?
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callculus
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Estoy casi seguro de que $f_T(t)=C\cdot t\cdot e^{-1/2\cdot\color{red}t}I_{[0,\infty)}$ .
La variable indicadora muestra dónde $f_T(t)=0$ . La densidad también puede escribirse como
$$f_T(t)=\begin{cases}{} C\cdot t\cdot e^{-1/2\cdot t}, \ \text{if} \ x\geq 0 \\ 0 , \ \text{if} \ x<0 \end{cases}$$
Una propiedad de un pdf es
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=1$$
En su caso
$\int_{-\infty}^{0} f_T(t) \, dt + \int_{0}^{\infty} f_T(t) \, dt=1$
$\int_{-\infty}^{0} 0 \, dt + \int_{0}^{\infty} C\cdot t\cdot e^{-1/2\cdot t} \, dt=1$
$\int_{0}^{\infty} C\cdot t\cdot e^{-1/2\cdot t} \, dt=1$
Para calcular el LHS se puede utilizar la integración parcial. Defina $u(t)=t\Rightarrow u'(t)=1$ y $v'(t)=e^{-1/2t}\Rightarrow v(t)=-2e^{-1/2t}$
$\int u(t)\cdot v'(t)\, dt=u(t)\cdot v(t)-\int u'(t)\cdot v(t)\, dt$
$\int t\cdot e^{-1/2t} \, dt=-2t\cdot e^{-1/2t}-\int 1\cdot (-2e^{-1/2t})\, dt$
$=-2t\cdot e^{-1/2t}-4\cdot e^{-1/2t}$
Por lo tanto $C\cdot [t\cdot e^{-1/2t}]_0^{\infty}-4\cdot C\cdot [e^{-1/2t}]_0^{\infty}=1$
$0-4\cdot C\cdot (0-1)=1$
$4C=1\Rightarrow C=\frac14$
La función indicadora indica que la expresión es $C t e^{-1/2}$ siempre que $t\in[0;\infty)$ y cero en el resto.
$$\Bbb I_{[0;\infty)}(t) = \begin{cases}1&:& t\in[0;\infty) \\ 0 &:& \text{elsewhere}\end{cases}$$
Como tal, el FCD debe sea $~F_T(t)=\int_0^t f_T(\tau)\operatorname d \tau ~\cdot~\mathbb I_{[0;\infty)}(t)$ .
Sin embargo, $\int_0^\infty C \tau e^{-1/2}\operatorname d \tau \neq 1$ por lo que la función que ha presentado no es una función de densidad de probabilidad, y así se no da una función de distribución acumulativa válida.
Comprueba que lo que has escrito es lo que aparece en el libro. Si es así, comprueba que es lo que quería decir el libro.
