Desembolso de $f$ frente a la integrabilidad de $1/x^{f(x)}$

Question

Se trata de una continuación de esta pregunta donde se pregunta por la existencia de una función $p$ que es $>1$ y decae lo suficientemente rápido como para $1$ para que $1/(1+|x|)^{p(x)}$ sea no integrable. Ahí, mi respuesta y zhw. muestra que en realidad no es necesario un decaimiento rápido, lo que me hizo pensar que la pregunta correcta es más bien qué lento $p(x)$ tiene que decaer a $1$ para que $1/(1+|x|)^{p(x)}$ sea integrable?

Por comodidad, limitémonos a la siguiente situación: Para una función medible $f:[1,+\infty]\to(1,+\infty)$ defina $$ I(f)=\int_1^\infty\frac{dx}{x^{f(x)}} $$ y considerar el problema de decidir si $I(f)<\infty$ . Puesto que claramente $I(f)<\infty$ si $\liminf_{x\to\infty}f(x)>1$ el caso interesante es cuando $f$ decae a $1$ en $\infty$ . Como muestra mi respuesta en el enlace anterior, $I(f)=\infty$ para $f(x)=1+\frac{1}{\log x}$ por lo que debemos buscar funciones $f$ con un decaimiento más lento hasta $1$ para obtener $I(f)<\infty$ .

Preguntas: ¿Hay alguna $f$ que decae lo suficientemente despacio como para $1$ para que $I(f)<\infty$ ? Si no es así, ¿podría ser cierto que $I(f)=\infty$ para cada función (tal vez asumiendo cierta regularidad) $f$ que decae a $1$ ?

Cualquier ayuda será bienvenida.

Answer 1

Tenga en cuenta que la función $g\colon (1,\infty)\to(0,\infty)$ definido por $$ g(x) = \frac{1}{x\ln^2 x} $$ es integrable en $[2,\infty)$ y además que $$ g(x) = \frac{1}{x^{1+2\frac{\ln\ln x}{\ln x}}}. $$ Ahora, toma $f$ definido por $f(x) = 1+2\frac{\ln\ln x}{\ln x}>1$ .

Nota: aquí, sólo me importaba $[2,\infty)$ ya que $\infty$ es donde tiene lugar toda la "acción". Para responder plenamente a la pregunta (y tratar la integrabilidad en $1$ ), defina $f$ como arriba en $[2,\infty)$ y fijar $f(x)=98$ (o su valor favorito mayor que $1$ ) en $[1,2]$ .