Demostrar que un conjunto de nueve enteros consecutivos no se puede dividir en dos subconjuntos con el mismo producto

Question

Problema: Demostrar que un conjunto de nueve enteros consecutivos no se puede dividir en dos subconjuntos con el mismo producto

Mi intento:

Este problema se resolvería si se pudiera demostrar que no pueden existir 9 números consecutivos tales que todos los números sean de la forma $2^a 3^b 5^c 7^d$ donde $a,b,c,d$ son números enteros.

Una pista adecuada sería apreciada, no quiero una solución completa.

Editar:

Si existiera un factor primo mayor que $7$ de cualquier número presente en el conjunto, entonces su múltiplo no puede existir b/c $22-11>9$

Edición 2: Como menciona Erick, mi razonamiento no es válido para los números $1-9$ y $2-9$ que esta sea una excepción.

Answer 1

Sugerencia

1. Demuestre que ninguno de los 9 números consecutivos puede ser múltiplo de $13$ .

2. Denotemos el producto de los 9 números consecutivos por $a$ . Demostrar que $a$ debe ser cuadrado.

3. Mira el resto de $a$ modulo $13$ . Utilice 1. para ver que sólo hay $4$ posibilidades. Usa 2. para encontrar una contradicción en los 4 casos.

(Esto se inspira en esta respuesta . Obsérvese que si se toman los residuos módulo $11$ no funcionará pero, sorprendentemente, $13$ lo hace).

Answer 2

Otra idea es escribir los números $a,a+1,...,a+8$ . Sea $A$ y $B$ sus productos iguales. Entonces uno de ellos (digamos $A$ ) tiene como máximo $4$ factores, y el segundo (B) tiene $\geq 5$ factores. Entonces $A\leq (a+8)^4$ y $B\geq a^5$ Por lo tanto $(a+8)^4\geq a^5$ Este espectáculo $a\leq 15$ . Ahora puedes terminar usando el punto 2) de la respuesta de @azimut, usando for $a=1$ el hecho de que el exponente del primo $5$ es $1$ en el producto $a(a+1)...(a+8)$ , para $a=2$ el primer $7$ etc.

Answer 3

Bien, este es mi segundo intento de responder a la pregunta. De nuevo, el lenguaje no es del todo matemático. Tampoco veo ninguna manera de hacer diagramas de Venn con MathJax y marco algunas pruebas de lemas simples como triviales en lugar de pasar por los pasos elementales para demostrar que son verdaderos. Si realmente quieres deletrearlos puedes hacerlo.

La demostración del teorema sería algo así ....

Definición 1 : Sea Sn el conjunto de 9 enteros consecutivos empezando por n.

Definición 2 : Sea Tn una partición de Sn en dos subconjuntos, A y B, de Sn.

Definición 3 : Sean Ap y Bp los productos de los elementos de A y B respectivamente.

Teorema : No existe ningún Tn de cualquier Sn para el que Ap = Bp.

Prueba : Por contradicción. Supongamos que Ap = Bp para algunos subconjuntos A y B de algún Tn de un Sn.

A continuación, podemos establecer una serie de lemas básicos.

Lemma 1 : Ningún elemento de Sn es divisible por ningún primo mayor que 7.

Prueba : Si un elemento de Sn es divisible por un primo mayor que 7, nótese que ningún otro elemento de Sn puede ser divisible por el mismo primo ya que el otro número más cercano divisible por el mismo primo estaría a más de 9 unidades del elemento divisible por ese primo. Por tanto, en la partición Tn cuando ese elemento se colocara en el subconjunto A o en el subconjunto B, Ap no sería igual a Bp. Contradicción.

Corolario 1 : Cualquier elemento de Sn que no sea el número 1 sólo puede ser divisible por 2, 3, 5 o 7.

Prueba : Se deduce del lema 1.

Lemma 2 : Hay exactamente dos elementos de Sn que son divisibles por 7.

Prueba : Trivial.

Lemma 3 : Hay exactamente dos elementos de Sn que son divisibles por 5.

Prueba : Trivial.

Lemma 4 : Hay exactamente tres elementos de Sn que son divisibles por 3.

Prueba : Trivial.

Lemma 5 : Hay 4 o 5 elementos de Sn que son divisibles por 2.

Prueba : Trivial.

Lemma 6 : Si Sn contiene el número 1 debe ser S1.

Prueba : Trivial.

Lemma 7 : Sn puede contener a lo sumo tres elementos que sean potencias de dos y no sean divisibles por ningún otro primo.

Prueba : Si Sn contiene cuatro o más elementos que son potencias de dos y no son divisibles por ningún otro primo, entonces el más pequeño es 2x y el más grande es 2y. Entonces tenemos x>= 1 e y>=x+4 y la longitud de cualquier conjunto de números consecutivos que los contenga debe ser al menos 2x+4-2x = 2x(24-1) = 2*7 = 28 que es demasiado grande para S.

Lema 8 : Si Sn contiene tres (y sólo tres) elementos que son potencias de dos y no son divisibles por ningún otro primo, entonces Sn debe ser S1 o S2.

Prueba : Trivial.

Lema 9 : Si Sn contiene dos (y sólo dos) elementos que son potencias de dos y no son divisibles por ningún otro primo, entonces Sn debe ser S3, S4 o S8.

Prueba : Trivial.

Ahora que tenemos nuestros lemas, pasemos a la demostración. Hagamos un diagrama de Venn para los elementos de Sn que conste de tres círculos; uno para los elementos divisibles por 3, otro para los elementos divisibles por 5 y otro para los elementos divisibles por 7. Ahora bien, o bien estos tres círculos son completamente disjuntos o bien se solapan en alguna parte. Veamos primero el caso en el que son completamente disjuntos.

Ten en cuenta que no veo ninguna forma de hacer diagramas de Venn en este post usando MathJax, así que me limitaré a hacer cajas usando guiones y demás.

      -----7-----       -----5-----     -----3-----
     |    x   x  |     |   x   x   |   |   x x x  |         x  x
     ------------      -------------    -----------

Obsérvese que ahora podemos hacer dos lemas más.

Lema 12 : El número 1, si es un elemento de Sn estará fuera de los círculos, al igual que cualquier elemento que sea estrictamente una potencia de dos.

Prueba : A partir del lema 1, el corolario 1 y el diagrama de Venn.

Lema 13 : Cualquier elemento fuera de los círculos debe ser el número 1 o bien una potencia de dos que no sea divisible por ningún otro primo.

Prueba : Como cualquier elemento de Sn sólo puede ser divisible por 2, 3, 5 o 7 y los elementos fuera de los círculos no son divisibles por 3, 5 o 7, el único número por el que pueden ser divididos es el 2. Los únicos números que pueden serlo son las potencias de 2 y el propio número 1.

Nótese que el lema 13 obliga entonces a que los dos elementos fuera del círculo sean o bien 1 y un elemento que sea potencia de 2 o bien dos elementos que sean potencias de 2. Si uno de ellos es el número 1 entonces S debe ser S1 (por el lema 6). Pero S1 sólo tiene un elemento que es divisible por 7, por lo que no puede satisfacer los supuestos. Así que los dos elementos fuera de los círculos deben ser elementos que son potencias de 2 sin ningún otro divisor primo. Por el lema 9, S debe ser entonces S3, S4 o S8. Sin embargo, ninguno de ellos tiene dos elementos que sean divisibles por 7. Por tanto, ningún S puede satisfacer la condición de que los círculos de Venn sean disjuntos. Por lo tanto, deben superponerse para que se cumpla nuestra suposición.

Nótese, sin embargo, que si solapamos los círculos, obligamos a que haya más elementos fuera de los círculos, ya que los lemas 2, 3 y 4 limitan cuántos puede haber en cada uno de ellos. Por ejemplo, si un elemento es divisible tanto por 3 como por cinco, nuestro diagrama pierde un elemento cuando superponemos los círculos.

      -----7-----       -----5-------------3-----
     |    x   x  |     |   x      |  x  |   x x  |         x  x
     ------------       -------------------------

No puede ir dentro del círculo para los elementos que son divisibles por 7. Eso violaría el lema 2. Así que debe ir fuera de los círculos.

      -----7-----       -----5-------------3-----
     |    x   x  |     |   x      |  x  |   x x  |      x   x  x
     ------------       -------------------------

Obsérvese que el Lema 7 y el Lema 13 nos limitan a mover más de dos elementos fuera de los círculos para unirlos a los otros dos que ya están allí. Así que sólo tenemos dos escenarios cuando los círculos se superponen. O bien hay tres elementos fuera de los círculos o bien hay 4.

Si hay tres elementos fuera de los círculos, o incluyen el 1 o no lo incluyen. Si incluyen 1, entonces S sólo puede ser S1 (lema 6). Si no incluyen 1 entonces los tres elementos deben ser potencias de dos. Según el lema 8, S sólo puede ser S1 o S2. Por tanto, los únicos S que pueden tener tres elementos fuera de los círculos cuando éstos se solapan son S1 y S2. Nótese, sin embargo, que ninguno de los dos S tiene dos elementos que sean divisibles por 7. Contradicción.

Así que debe haber cuatro elementos fuera de los círculos si se superponen. En esta situación también incluyen 1 o no. Si lo hacen, por el lema 6, S debe ser S1. Si no incluyen 1 entonces los cuatro son potencias de dos. Pero esto contradice el lema 7. Así que S sólo puede ser S1 cuando hay cuatro elementos. Sin embargo, como se señaló anteriormente, esto no tiene dos elementos divisibles por 7. Así que no puede haber cuatro elementos fuera de los círculos.

Así, ninguno de los escenarios admite soluciones. La hipótesis debe ser falsa. Por lo tanto, la teoría debe ser verdadera. QED.

Answer 4

No es exactamente en matemáticas, pero estoy en mi hora de almuerzo y usando un iPhone, así que aquí va.

Vamos a referirnos a los números como N(0) a N(8). El residuo de N(0) módulo 3 es 0,1 o 2. Así que tenemos tres casos.

Si el módulo es 0 entonces N(0) es divisible por 3. Entonces también N(3) y N(6) son divisibles por 3. Llámalos el subconjunto d3 del conjunto mayor.

Si divides el conjunto mayor en subconjuntos A y B, uno de ellos va a contener un número par de los miembros del subconjunto d3 (0 o 2 de ellos) y el otro contendrá un número impar de los miembros de d3 (3 o 1 respectivamente). Así que tienes dos casos para las particiones.

En cualquiera de esos casos, el producto miembro de un conjunto de partición (ya sea A o B) será divisible por 9 y el producto miembro del otro conjunto no lo será. Así que no pueden ser iguales, y por lo tanto esa situación no puede ocurrir.

Por un razonamiento similar, cuando el módulo del primer número es 1, entonces d3 seguirá conteniendo un número impar de números divisibles por tres (en ese caso N(1), N(4) y N(7)) y ocurre el mismo resultado.

Lo mismo para cuando el módulo es 2 donde d3 contendrá N(2), N(5) y N(8).

Por lo tanto, la respuesta es no, 9 enteros consecutivos no pueden ser divididos en dos conjuntos cuyos productos miembros son iguales.

Lo mismo ocurre cuando hay un número impar de elementos en d3. En general cuando se tienen 6x+9 enteros consecutivos no se pueden dividir en dos subconjuntos cuyos productos miembros sean equivalentes.

Answer 5

Maldita sea, necesito más café: La siguiente respuesta va a acabar con mi reputación ya que es muy idiota y no es correcta. !!!SHEESH!!! Soy propenso a cometer errores por descuido, pero este es una verdadera barbaridad de descuido...

Así que, mi respuesta. ¡¡!! ¡¡¡ERROR!!!

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¿No sería más fácil decir que 9 enteros consecutivos cualesquiera tendrán uno y sólo un múltiplo de 5?

Así, el múltiplo cinco estará en un conjunto y su producto será un múltiplo de 5, y el otro conjunto no tendrá ningún múltiplo de 5 y su producto no será un múltiplo de 5.