Un rompecabezas de lógica epistémica transfinite: ¿qué números dio Cheryl a Albert y Bernard?

Question

Espero que casi todo el mundo aquí en stackexchange es por ahora familiarizado con Cheryl cumpleaños del problema, lo que dio lugar a muchas variantes de problemas, incluyendo un transfinito versión debido a Timothy Gowers.

En respuesta, he hecho mi propia transfinito epistémica de rompecabezas de la lógica, Cheryl racional del regalo, que aparece a continuación. Puede resolverlo?

Cheryl de Bienvenida, Albert y Bernard, a mi fiesta de cumpleaños, y gracias por tus regalos. Para devolver el favor, como usted entró en mi partido, me privada se hizo conocido a cada uno de ustedes un número racional de la forma $$n-\frac{1}{2^k}-\frac{1}{2^{k+r}},$$ donde $n$ y $k$ son números enteros positivos y $r$ es un número entero no negativo; por favor considere mi regalo a cada uno de ustedes. Sus números son diferentes unos de otros, y que ha recibido ninguna otra información acerca de estos números o cualquiera conocimiento sobre los mismos más allá de lo que ahora estoy diciendo. Déjeme preguntarle, ¿quién de ustedes tiene el número más grande?

Albert no sé.

Bernard Tampoco I.

Albert , de Hecho, yo todavía no sé.

Bernard Y todavía ni yo.

Cheryl Bien, no es ningún uso para continuar de esa manera! Te puedo decir que no importa cuánto tiempo usted que seguir hacia adelante y hacia atrás, usted no llegará a saber quién tiene el número más grande.

Albert ¿Qué nueva información interesante! Pero, por desgracia, todavía no sabemos cuyo número es mayor.

Bernard Y aún no sé.

Albert sigo a no saber.

Bernard lamento que yo tampoco lo sé.

Cheryl permítanme decir una vez más que no importa cuánto tiempo usted continúe con la verdad a decirle a cada uno de los otros en la sucesión que aún no la conocen, no saben quién tiene el número más grande.

Albert Bien, muchas gracias por salvarnos de ese molesto problema! Pero, por desgracia, todavía no sé que tiene el número más grande.

Bernard Y también me permanecer en la ignorancia. Sin embargo, hemos llegado a conocer?

Cheryl Bien, de hecho, no importa el largo de los tres de nosotros seguir a partir de ahora en el patrón que han seguido hasta ahora---es decir, el modelo en el que los dos estados de ida y vuelta que todavía no sabemos todavía cuyo número es más grande y entonces me digo una vez más que no hay más cantidad de la que de ida y vuelta se le permitirá saber---a continuación, aún después de tanta repetición de ese patrón, ya que podemos soportar, usted no sabe a qué número es más grande! Además, yo podría hacer la misma declaración por segunda vez, incluso después de que, ahora que lo he dicho una vez, y no por ello deja de ser cierto. Y un tercer y cuarto así! De hecho, yo podría hacer la misma declaración de un centenar de veces en total, en la sucesión (a contar mi primera vez como entre las cien), y sería cierto todo el tiempo. Y además, incluso después de mi dicho por completo de cien veces en sucesión, aún no se sabe quién tiene el número más grande!

Albert potente nueva información! Pero estoy muy triste decir que todavía no sé cuyo número es mayor.

Bernard Y también, no sé.

Albert Pero espera! De repente viene a mí después de que Bernard último comentario, que por fin sé que tiene el número más grande!

Bernard Realmente? En ese caso, también sé, y lo que es más, sé que tanto de nuestros números!

Albert Bien, ahora yo también los conozco!

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Pregunta. Los números que se hizo Cheryl dar a Albert y Bernard?

Hay muchas observaciones y propuesta de soluciones publicado ya como comentario en mi blog, pero las soluciones que se proponen, no todos están de acuerdo el uno con el otro.

Voy a publicar una solución en un par de días, pero pensé que la gente aquí en Matemáticas.SE puede disfrutar de los rompecabezas. Pido disculpas si algunos encuentran esta pregunta a un uso inadecuado de este sitio.

Puede que también desee ver mi anterior transfinito epistémica puzzles de lógica, con soluciones de allí.

Answer 1

Podemos hacer un mapa de $n - 2^{-k} - 2^{-(k+r)}$ en el ordinal $\omega^2(n-1) + \omega(k-1) + r$; esto preserva el orden. Así que Cheryl efectivamente dice "me han dado distintos ordinales $a$ y $b$, ambos a menos de $\omega^3$. Cuál es más grande?"

Albert dice "$a \geq 1$", Bernard dice "$b \geq 2$", de Albert dice "$a \geq 3$", Bernard dice "$b \geq 4$".

Cheryl dice "en Realidad $a$ y $b$ son $\geq \omega$".

Albert dice "$a \geq \omega + 1$", Bernard dice "$b \geq \omega + 2$", de Albert dice "$a \geq \omega + 3$", Bernard dice "$b \geq \omega + 4$".

Finalmente Cheryl dice "en Realidad ambos son $\geq \omega^2 100 + 1$".

Albert dice "$a \geq \omega^2 100 + 2$".

Bernard dice "$b \geq \omega^2 100 + 3$".

Albert dice: "¡Ajá! En ese caso, yo sé la respuesta, lo cual nos indica que $a < \omega^2 100 + 4$".

A partir de eso, Bernard pueden trabajar fuera de Albert número. ¿Cómo saber si Albert del número es de $\omega^2 100 + 2$ o $\omega^2 100 + 3$? Sólo puede ser que $\omega^2 100 + 3$ es Bernardo del número, así que conoce a Albert deben ser de $\omega^2 100 + 2$.

Traducir en el lenguaje de la pregunta original, esto significa que Albert número de $101 - 2^{-1}- 2^{-3} = 100.375$ y Bernard es $101 - 2^{-1}- 2^{-4} = 100.4375$.

Answer 2

Cada vez que Albert y Bernard van de ida y vuelta están eliminando una nueva 'r' , y cada vez que ella les dice que no importa cuántas veces se van de ida y vuelta que no lo consiguen, ellos son la eliminación de un nuevo 'k.'

Cuando Cheryl hace su gran diatriba, ella si, efectivamente, diciéndoles que para todo r y k cuando n = 1, que no la vas a encontrar, y además que los primeros 100 veces ella hace que la declaración de que no la vas a encontrar.

Ella también dice que después de decir 100 veces, tampoco se sabe qué número es más grande. Esto significa que ni Albert ni Bernard tiene el número 100. (algo con un par de otras soluciones de pasada, creo.) Albert dice que no sabe, descartar lo de tener 100 + 1/4, y, a continuación, Bernard dice que él todavía no lo sabe, descartar Bernard tener 100 + 3/8 y 100 + 1/4.

Cuando Albert dice que, de repente, él sabe, él puede tener 100 + 3/8 o 100 + 7/16. La única manera de Bernard saber tanto de sus números es si él tiene 100 + 7/16, lo que nos da la respuesta:

Albert: 100 + 3/8 Bernard: 100 + 7/16

Answer 3

He publicado una solución extendida en mi blog:

Solución a mi lógica epistémica transfinite puzzle.

Mi respuesta coincide con lo de Joe y Kellen y Paul en las otras respuestas, es decir, que Albert tiene $100\frac38$ y Bernard $100\frac7 {16} $.