2014 AMC 12 B problema 25

Question

Cuál es la suma de todas las soluciones reales positivas $x$ a la siguiente ecuación? $$2\cos(2x)\left( \cos(2x) - \cos{\left(\frac{2014\pi^2}{x^2}\right)} \right) = \cos(4x) - 1$$

Answer 1

Utilizando $\cos2A=2\cos^2A-1,$

$$2\cos^22x-2\cos2x\cos\left(\frac{2014\pi^2}{x^2}\right)=2\cos^22x-1-1$$

$$\implies\cos2x\cos\left(\frac{2014\pi^2}{x^2}\right)=1$$

En cuanto a la $y,-1\le\cos y\le1;$ Necesitamos

$$\cos2x=\cos\left(\frac{2014\pi^2}{x^2}\right)=\pm1$$

Tomando el signo "+", $\displaystyle\cos2x=1\implies 2x=2n\pi\iff x=n\pi$ donde $n$ es un número entero

y $\displaystyle\cos\left(\frac{2014\pi^2}{x^2}\right)=1\implies \frac{2014\pi^2}{x^2}=2m\pi\iff x^2=\frac{1007\pi}m$ donde $m$ es un número entero

$\displaystyle\implies \frac{1007\pi}m=(n\pi)^2\iff\pi=\frac{1000}{mn^2}$ que es racional a diferencia de $\pi$

¿Puedes manejar el signo '-' desde aquí?

Answer 2

Tras una sencilla aplicación de la fórmula $\cos{2A = 2\cos^2{A} - 1}$ al lado derecho y alguna simplificación algebraica, obtenemos

$$\cos{(2x)}\cos{\left( \frac{2014\pi^2}{x^2} \right)} = 1$$

Tenga en cuenta que no podemos tener $\cos 2x \in (0, 1)$ ya que eso significaría que el otro factor es mayor que 1, claramente imposible. Del mismo modo, no podemos tener $\cos{2x} \in (-1, 0)$ . Así, $$\cos(2x) = \cos{\left( \frac{2014\pi^2}{x^2}\right)} = \pm1$$

El único caso viable es que $2014\pi/k$ es un múltiplo entero de $\pi$ . Así, las soluciones son $\pi, 19\pi, 53\pi, 1007\pi$ que suman $1080\pi$ .

Answer 3

Parece que no es una pregunta difícil.

$2\cos(2x)\left( \cos(2x) - \cos{\left(\frac{2014\pi^2}{x^2}\right)} \right) = \cos(4x) - 1=2cos^{2}(2x)-2$$\Longrightarrow$ $\cos(2x)\cos(\frac{2014\pi^2}{x^2})=1$

la pista es :

$\cos(\frac{2014\pi^2}{x^2})=sec(2x)$

y $cos\in[0,1]$ y $sec\in[1,\infty]$

¿Es útil?