pregunta
¿Cuál es un polinomio que tiene las raíces: 3 y 5-i y además cruza el origen con coeficientes enteros?
Lo que pienso
en mi primer instinto, escribí esto:
$(x-(5-i))(x+(5-i))(x-3)(x)$
Pero entonces me he dado cuenta de que cuando se factorizan las partes complejas, no se obtienen coeficientes enteros por lo que estaba muy confundido si esto es siquiera posible
Si quieres coeficientes reales, lo que implica números enteros, necesitas raíces imaginarias conjugadas. Para cruzar el origen necesitas un factor $x$ . La opción más sencilla es entonces $$x(x-3)(x-5+i)(x-5-i)=x^4 - 13 x^3 + 56 x^2 - 78 x$$ Puedes multiplicarlo por cualquier polinomio con coeficientes enteros que quieras. Estás cerca, pero no conseguiste el conjugado correcto.
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