Sea $f(x) =x^5+x^2+1$ con $a, b, c, d, e$ como ceros. . .

Question

Sea $f(x) =x^5+x^2+1$ con $a, b, c, d, e$ como ceros y $g(x)=x^2-2.$ Demuestra que $$g(a)g(b)g(c)g(d)g(e)=-23. $$

No tengo ni idea de cómo resolverlo.

Por favor, ayuda.

Gracias de antemano.

Answer 1

Las cifras $a^2,b^2,c^2,d^2,e^2$ son todos ceros de $$ h(x)=x^5-x^2-2x-1. $$ Esto se debe a que $$ h(x^2)=x^{10}-x^4-2x^2-1=-f(x)f(-x). $$ Esto implica, a su vez, que $a^2-2,b^2-2,c^2-2,d^2-2,e^2-2$ son los ceros de $$ r(x):=h(x+2)=x^5+10 x^4+40 x^3+79 x^2+74 x+23. $$

También vemos que $\gcd(f(x),f(-x))=1$ por lo que $r(x)$ no tiene otras raíces. ¿Entiendes por qué? En este punto puedes utilizar la relación entre los coeficientes de un polinomio y el producto de sus raíces.

Answer 2

Sea $a_1,\ldots,a_5$ sean las raíces de $f(x)=x^5+x^2+1$ . Entonces para cada real $x$ que tenemos:

$$f(x)=x^5+x^2+1=\prod_{i=1}^5(x-a_i).$$

Así que.., $g(a_1)\cdot g(a_2)\cdot g(a_3)\cdot g(a_4)\cdot g(a_5)$ es igual a:

\begin{align*} \prod_{i=1}^5 g(a_i)&=\prod_{i=1}^5 (a_i^2-2)=\prod_{i=1}^5 (a_i-\sqrt{2})(a_i+\sqrt{2})\\ &=\prod_{i=1}^5 (a_i+\sqrt{2}) \cdot \prod_{i=1}^5 (a_i-\sqrt{2})\\ &=\prod_{i=1}^5 (a_i+\sqrt{2}) \cdot \prod_{i=1}^5 [(-1)(\sqrt{2}-a_i)]\\ &=\prod_{i=1}^5 (a_i+\sqrt{2}) \cdot (-1)^5 \prod_{i=1}^5 (\sqrt{2}-a_i)\\ &=\prod_{i=1}^5 [(-1)(a_i+\sqrt{2})] \cdot \prod_{i=1}^5 (\sqrt{2}-a_i)\\ &=\prod_{i=1}^5 (-\sqrt{2}-a_i) \cdot \prod_{i=1}^5 (\sqrt{2}-a_i)\\ &=f(-\sqrt{2})\cdot f(\sqrt{2})\\ &=(-4\sqrt{2}+3)(4\sqrt{2}+3)\\ &=-23 \end{align*}

Answer 3

Sea $\{a,b,c,d,e\}$ sea $r_i : i \in [1,5]$ . En $f(x)=0$ condición dice entonces que: $$ \sum_i r_i = \sum_{i<j} r_ir_j = \sum_{i<j<k<m} r_ir_jr_kr_m = 0 \\ \sum_{i<j<k} r_ir_jr_k = r_1r_2r_3r_4r_5 =1 \\ $$ Llámese así a las condiciones dadas.

Y el número que hay que encontrar es $$ \prod_i (r_i^2-2) = -32 + 16\sum_i r_i^2 -8\sum_{i<j} r_i^2r_j^2 \\ +4 \sum_{i<j<k} r_i^2r_j^2r_k^2 -2 \sum_{i<j<k<m} r_i^2r_j^2r_k^2r_m^2 + r_1^2r_2^2r_3^2r_4^2r_5^2 $$ Podemos expresar estos términos de forma que nos permitan utilizar las condiciones dadas. $$\sum_i r_i^2 = \left( \sum_i r_i \right)^2 -2 \sum_{i<j} r_ir_j = 0-2\cdot 0 = 0$$ $$ \sum_{i<j} r_i^2r_j^2 = \left( \sum_{i<j} r_ir_j \right)^2-2\sum_i r_i^2 \sum_{j,k\neq i:j<k} r_jr_k -6\sum_{i<j<k<m} r_ir_jr_kr_m = 2\sum_i r_i^2 \sum_{j,k\neq i:j<k} r_jr_k \\ \sum_i r_i^2 \sum_{j,k\neq i:j<k} r_jr_k = \sum_{i<j<k} r_ir_jr_k \sum_i r_i - 4 \sum_{i<j<k<m} r_ir_jr_kr_m = 1 \cdot 0 -4\cdot 0 = 0 \\ \sum_{i<j} r_i^2r_j^2 = 0 $$ De forma similar, se encuentra que $$ \sum_{i<j<k} r_i^2r_j^2r_k^2 =1 \\ \sum_{i<j<k<m} r_i^2r_j^2r_k^2r_m^2 = -2 $$ Y por supuesto $r_1^2r_2^2r_3^2r_4^2r_5^2 = (r_1r_2r_3r_4r_5)^2 = 1$ .

Juntando todo esto, $$ \prod_i (r_i^2-2) = -32 + 16 \cdot 0 -8\cdot 0 +4 \cdot 1 -2 \cdot (-2) + 1 = -23 $$ Por cierto, si empezaste con $$x^5 + 2x^2 + 1 = 0$$ encontrarías $$g(a)g(b)g(c)g(d)g(e) = -32 + 16 \cdot 0 -8\cdot 0 +4 \cdot 4 -2 \cdot (-4) + 1 = -7$$ Me pregunto si es una propiedad general que este producto siempre resulte ser un ineteger. En efecto, parece ser que si $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios con coeficientes enteros, y las raíces de $P(x)$ son $r_i$ , entonces $\prod_i Q(r_i)$ es siempre un número entero.