Encontrar un submódulo simple de $\mathbb C[Q_8]$ que es isomorfo a un cierto irrep

Question

Dado que conozco un cierto $2$ -representación irreducible dimensional $V$ de $\mathbb C[Q_8]$ ¿existe un proceso estándar para encontrar un submódulo simple de $\mathbb C[Q_8]$ que sea isomorfa a esa representación irreducible?

Hay un método descrito aquí para encontrar el cuatridimensional subálgebra de $\mathbb C[Q_8]$ que es isomorfo a $V^{\oplus 2}$ pero estoy buscando el submódulo simple de $\mathbb C[Q_8]$ que es isomorfo a $V$ no $V^{\oplus 2}$ .

Answer 1

Tu subálgebra 4D $A\subset\mathbb{C}[Q_8]$ correspondiente a la irrep 2D $V$ es generado por el proyector isotípico

$$ e=\frac{\dim V}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_V(g^{-1})=\frac{1-\varepsilon}{2} $$

donde llamamos $\varepsilon$ el elemento de orden dos de $Q_8$ . Desde $\varepsilon e=-e$ obtenemos

$$ A=\mathrm{span}\{e,\mathbf{i}e,\mathbf{j}e,\mathbf{k}e\}\cong\mathrm{End}(V)\cong M_2\mathbb{C}. $$

En efecto, $\mathbb{H}\otimes\mathbb{C}\to A$ dado por $q\otimes z\mapsto qez$ (convenientemente interpretado) es un isomorfismo. Aquí, el segundo factor se considera el centro $\mathbb{C}=Z(\mathbb{C}[Q_8])$ de escalares, por lo que $i\in\mathbb{C}$ y $\mathbf{i}\in Q_8$ son diferentes. Este isomorfismo es en realidad estándar: los elementos de $\mathbb{H}$ pueden interpretarse como transformaciones lineales de $\mathbb{H}$ mismo (ver $\mathbb{H}$ un derecho $\mathbb{C}$ -espacio vectorial) pensando en un cuaternión $q$ como un mapa de multiplicación a la izquierda $L_q(x):=qx$ y esto significa que al elegir una base para $\mathbb{H}$ (por ejemplo $\{1,\mathbf{j}\}$ ) podemos escribir cuaterniones como $2\times 2$ matrices complejas.

Las subrepciones de $A$ corresponden a sus ideales como álgebra, y dos bonitos ideales complementarios de $M_2\mathbb{C}$ corresponden a los conjuntos de matrices de la forma $[\begin{smallmatrix}\ast&0\\\ast&0\end{smallmatrix}]$ y $[\begin{smallmatrix}0&\ast\\0&\ast\end{smallmatrix}]$ . Si escribimos nuestro isomorfismo antes mencionado de forma razonablemente explícita, podemos averiguar los elementos de base para los ideales correspondientes en $A$ .