bobinados alrededor de un toroide incrustado

Question

Esta pregunta no está llegando a ninguna parte en math.stackexchange.com, así que vamos a ver si alguien aquí puede decir algo:

En el $xyz$ -el espacio imagina un círculo de radio $r>0$ en el $xz$ -cuyo centro está en el $x$ -eje a distancia $R>r$ del $z$ -y girarlo alrededor del eje $z$ -eje, obteniendo un toroide incrustado en $\mathbb R^3$ .

Su intersección con planos paralelos al $xy$ -planos llamemos "círculos paralelos".

Vientos en curva $m$ veces por el camino largo y $n$ veces por el camino corto (y $m$ et $n$ no son a la vez $0$ ), y vuelve a su punto de partida. Se sitúa de forma que encuentra todas las circunferencias paralelas en el mismo ángulo.

En función de $m$ et $n$ et $r$ et $R$ y la posición en la curva, ¿cuáles son

• la longitud de la curva;
• el ángulo en el que se encuentra con los círculos paralelos;
• la curvatura;
• ¿la torsión?

En $m=0$ o $n=0$ las respuestas son obvias.

En $m=n=1$ la respuesta es sorprendente: la torsión está en todas partes $0$ y la curvatura es constante (e igual a $1/R$ por lo que la longitud del arco es $2\pi R$ ).

¿Hay otros casos en los que la respuesta sea sorprendente o elegante o de interés por otras razones?

Answer 1

Creo que esas curvas (1,1) son las Círculos de Villarceau . Sorprendentemente, de saber que tienen longitud $2\pi R$ se puede calcular la longitud del $(m,n)$ curvas cuando $n\ne 0$ .

Hay un mapa conforme desde el toro incrustado al toro plano formado pegando las aristas de un rectángulo, y lleva todos los círculos paralelos a líneas paralelas a una de las aristas. (Una forma de verlo es dibujar círculos en el toro ortogonales a los círculos paralelos. Estos círculos forman una cuadrícula, y si están espaciados correctamente, la cuadrícula está hecha de cuadrados aproximados. El mapa conforme se estira y encoge para que todos los cuadrados tengan el mismo tamaño). En el toroide plano, es fácil calcular todas estas curvas: son simplemente líneas rectas cuya pendiente viene determinada por $m$ , $n$ y la longitud de los lados del rectángulo.

Bien, ¿cuáles son las longitudes de los lados? Consideremos el toro formado pegando las aristas de un $a \times b$ rectángulo. Hay algo de $a$ et $b$ y alguna métrica $dg^2=f(x,y)(dx^2+dy^2)$ que lo hace isométrico al toroide incrustado. De hecho, por simetría, $f(x,y)$ depende únicamente de $y$ Así que $dg^2=h(y)^2(dx^2+dy^2)$ . Tomemos una curva cerrada de pendiente constante que serpentea $m$ veces por el camino largo y $n$ veces el camino corto. Si $n\ne 0$ esta curva pasa la misma cantidad de tiempo en cada $y$ -por lo que su longitud wrt $g$ es su longitud euclidiana multiplicada por el valor medio de $h$ . Si llamamos a ese valor medio $M$ obtenemos una longitud de $$\sqrt{(Mma)^2+(Mnb)^2}.$$

Pero ya conocemos las longitudes de dos de estas curvas: cuando $m=1,n=1$ tiene longitud $2\pi R$ y cuando $m=0,n=1$ tiene longitud $2\pi r$ . Por lo tanto, $Ma=2\pi \sqrt{R^2-r^2}$ et $Mb=2\pi r$ . Por lo tanto, la curva que va alrededor de $m$ veces el camino largo y $n$ veces el camino corto tiene longitud $$2\pi \sqrt{m^2(R^2-r^2)+n^2r^2}$$ e interseca los círculos paralelos en la pendiente $$\frac{nr}{m\sqrt{R^2-r^2}}.$$