Característica de Euler de un par de láminas $(E,F)$ ?

Question

Entiendo la noción de característica de Euler de una variedad algebraica $X$ (digamos) en términos de las dimensiones de los grupos de cohomología de $X$ .

En el libro de Huybrecht "The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves" da una definición de la característica de Euler en términos de un par de sheaves $(E,F)$ .

La definición reza $$\chi(E,F) := \sum_i (-1)^i \text{dim Ext}(E,F)$$ Pero no entiendo cómo se relaciona esto con el invariante topológico de algún espacio subyacente. ¿Son ambos $E$ et $F$ en $X$ ? Es $F$ una subsección de $E$ ? ¿Qué está pasando aquí exactamente?

Answer 1

Aquí $E$ et $F$ se supone que ambas son láminas sobre $X$ (en este contexto, presumiblemente algo como gavillas coherentes sobre una variedad completa $X$ para que los Exts en cuestión sean de dimensión finita y la definición tenga sentido). No hay supuestos adicionales. La característica de Euler $\chi(E,F)$ no es un invariante de $X$ ya que depende de la elección de $E$ et $F$ . Se trata más bien de un invariante del par de láminas $(E,F)$ en $X$ .