Posible nueva definición de Gamma (constante de Euler-Mascheroni): $\lim_{x \to 0} (-\ln ( \sqrt[x]{x!} )) = \gamma$

Question

Creo que he descubierto una nueva definición de la constante de Euler-Mascheroni (Gamma)

Yo no puedo encontrarlo por Internet en cualquier lugar, ¿alguien ha visto antes?

$$\lim_{x \to 0} (-\ln ( \sqrt[x]{x!} )) = \gamma$$

Answer 1

Escriba $$ \ln (\sqrt[x]{x!}) = \ln ({x!} ^ {1/x}) = \frac{\ln ({x!})} {x} = \frac{\ln (\Gamma(x+1))} {x} = \frac{f(x)-f(0)} {x-0} $$ para $$ f (x) = \ln (\Gamma(x+1)) $$ entonces $ \lim_{x \to 0} \ln (\sqrt[x]{x!}) = f'(0) $$ ahora $$ f ' = \frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)} f'(0) $$ $$ y tan = \frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)} = \Gamma'(1) = - \gamma $$ la última igualdad es la parte difícil sólo , pero es un hecho estándar.

Answer 2

El Límite

La recurrencia $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ nos da que $$ \begin{align} \left(\frac{\Gamma(x+n+1)}{\Gamma(n+1)}\right)^{1/x} &=\Gamma(x+1)^{1/x}\left(\frac{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}{n!}\right)^{1/x}\\ &=\Gamma(x+1)^{1/x}\left(1+\frac x1\right)^{1/x}\left(1+\frac x2\right)^{1/x}\cdots\left(1+\frac xn\right)^{1/x}\tag{1} \end{align} $$ Como se muestra a continuación, el registro de convexidad $\Gamma(x)$ garantiza que $$ (n+x)^x<\frac{\Gamma(x+n+1)}{\Gamma(n+1)}<(n+1)^x\etiqueta{2} $$ La combinación de $(1)$ $(2)$ da $$ 1\lt\lim_{x\to0}\Gamma(x+1)^{1/x}e^{H_n-\log(n)}\lt 1+\frac1n\etiqueta{3} $$ Debido a $n$ es arbitrario, el Teorema del encaje de los rendimientos $$ \lim_{x\to0}\Gamma(x+1)^{1/x}=e^{-\gamma}\etiqueta{4} $$ que es una reformulación de la pregunta.

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Registro-Convexidad de $\,\boldsymbol{\Gamma(x)}$

Desde $\Gamma(x)$ es log-convexa, tenemos $$ \begin{align} \Gamma(x+n+1) &\le\Gamma(n+1)^{1-x}\Gamma(n+2)^x\\ &=\Gamma(n+1)^{1-x}[(n+1)\Gamma(n+1)]^x\\ &=\Gamma(n+1)(n+1)^x\tag{5} \end{align} $$ y $$ \begin{align} \Gamma(n+1) &\le\Gamma(x+n)^x\Gamma(x+n+1)^{1-x}\\ &=\left[\frac{\Gamma(x+n+1)}{n+x}\right]^x\Gamma(x+n+1)^{1-x}\\ &=\Gamma(x+n+1)(n+x)^{-x}\tag{6} \end{align} $$ La combinación de $(5)$ $(6)$ rendimientos $(2)$.

Answer 3

Más en general tenemos

${un} ^ {-1} b\, \lim _ {x\rightarrow 0} (-\ln \left (\left (\left (x \right, a\)! \right) ^ {{\frac {1} {b\, x}}} \right)) = \gamma $$