Las funciones propias de los sistemas cuánticos son uniformemente continuas

Question

Estoy tratando de demostrar que las funciones propias de los sistemas cuánticos tienden a $0$ como $x\to \pm\infty$ .

Trabajar en el espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R})$ aunque todas las funciones sean normalizables, es posible que no vayan a $0$ como $x\to \pm\infty$ - se pueden formular algunos ejemplos desagradables de funciones.

Creo que todas las funciones uniformemente continuas en $L^2$ do tienden a $0$ como $x\to \infty$ por lo que necesito una prueba de que todas las funciones propias son uniformemente continuas, o en su defecto, una prueba de que las funciones propias de un sistema cuántico van efectivamente a $0$ como $|x|\to \infty$ .

Answer 1

Para que un $1d$ Para que el problema de Schrodinger esté bien resuelto, es necesario que el Hamiltoniano $$ Hf = -\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2}{dx^2}f+Vf $$ sea esencialmente autoconjunta en el dominio $\mathcal{C}_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$ consistente en funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto. (Si esto no fuera cierto, entonces habría una condición de contorno no trivial en $\infty$ y condiciones en $\infty$ no tienen sentido porque no pueden imponerse, y eso daría lugar a un problema físico mal planteado). Para funciones reales $f\in\mathcal{C}_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$ , $$ \int_{-\infty}^{\infty}(Hf)fdx=\frac{\hbar^2}{2\mu}\int_{-\infty}^{\infty}(f')^2dx+\int_{-\infty}^{\infty}Vf^2dx. $$ Si $V$ está uniformemente limitada por debajo por alguna constante $C$ entonces $2|ab| \le a^2+b^2$ es válida para todos los números reales $a$ y $b$ y da $$ \frac{\hbar^2}{2\mu}\int_{-\infty}^{\infty}(f')^2dx \le -C\int_{-\infty}^{\infty}f^2dx+2\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2\sqrt{|C|+1}}|Hf|\right)\left(\sqrt{|C|+1}|f|\right)dx \\ \le -C\int_{-\infty}^{\infty}f^2dx+\frac{1}{4(|C|+1)}\int_{-\infty}^{\infty}(Hf)^2dx+(|C|+1)\int_{\infty}^{\infty}f^2dx \\ \le (2|C|+1)\int_{-\infty}^{\infty}f^2dx+\frac{1}{4(|C|+1)}\int_{-\infty}^{\infty}(Hf)^2dx. $$ Porque $H$ es esencialmente autoconjunta, lo anterior sigue siendo cierto para todos los $f \in \mathcal{D}(H)$ lo que obliga a $f'\in L^2(\mathbb{R})$ para todos $f\in \mathcal{D}(H)$ . Por lo tanto, $f'f \in L^1(\mathbb{R})$ para $f\in\mathcal{D}(H)$ lo que da la existencia de los siguientes límites: $$ \lim_{r\rightarrow\pm\infty}2\int_{0}^{r}f(r)f'(r)dr = \lim_{r\rightarrow\pm\infty}f(r)^2dr. $$ Si cualquiera de los límites fuera distinto de cero, eso contradiría la integrabilidad absoluta de $ff'$ . Por lo tanto, $$ \lim_{r\rightarrow\pm\infty}f(r)=0,\;\;\; f\in\mathcal{D}(H). $$ En particular, esto debe cumplirse para cualquier $f\in\mathcal{D}(H)$ para lo cual $Hf=\lambda f$ . Así pues, las funciones propias normalizables de $H$ debe desaparecer en $\pm\infty$ si, por ejemplo, el potencial está semiacotado por debajo. Sospecho que esto puede relajarse un poco, pero es un comienzo.