Subespacio de $\Bbb C^2 $ como Superficie de Riemann

Question

Estoy leyendo sobre la construcción de la superficie de Riemann. De la miríada de teoremas y lemas, soy incapaz de entender un "método" claro para identificar las superficies de Riemann.

Por ejemplo $$X = \{ (z, w) \in \mathbb{C}^2 \mid zw = 0 \}.$$ Tengo la corazonada de que no se trata de una superficie de Riemann. Una razón podría ser esta:

Establecer $P(z, w) = zw$ .

Entonces $ \frac {\partial P}{ \partial w} = z $ . Esto será $0$ cuando $z = 0$ . Pero dado $z = 0$ , $P(z,w) = zw = 0$ para infinitos valores de $w$ .

Sin embargo, por alguna razón que no me queda clara, esto crea un problema.

¿Puede alguien explicarme claramente

1. ¿cómo identificar las superficies de Riemann a partir de ecuaciones como las anteriores?
2. es mi razonamiento (mencionado anteriormente) está en el camino correcto
3. cómo encontrar el atlas una vez que he identificado un subespacio (de $ \mathbb{C}^2 $ ) como superficie de Riemann? Por ejemplo $ X = \{ (z, w) \in \mathbb{C}^2 \mid 3z - 14w^2 = 0 \} $ ¿qué atlas tiene? ¿Tiene $ \phi _1 = \sqrt {\frac{3}{14} z}, \phi _2 = -\sqrt {\frac{3}{14} z} $ ?

Answer 1

Para la superficie concreta $$X := \{zw = 0\} ,$$ podemos ver que el jacobiano de $P(z, w) = zw$ de los cuales $X$ es un conjunto de niveles, es $$\pmatrix{\frac{\partial P}{\partial z} & \frac{\partial P}{\partial w}} = \pmatrix{w&z}$$ por lo que sólo desaparece en $(0, 0)$ que figura en $X$ . Por tanto, si hay un problema, se producirá en ese punto. Dicho con más precisión, $X - \{(0, 0)\}$ es una superficie de Riemann, ya que es el conjunto de niveles en un valor regular de la función holomorfa $P\vert_{\Bbb C^2 - \{(0, 0)\}}$ .

Ahora, ¿puedes demostrar que $X$ no es una superficie de Riemann considerando la topología de $X$ cerca de $(0, 0)$ ? (Tenga en cuenta que, por otra parte, $X$ es la unión de las dos superficies de Riemann $\{z = 0\}$ y $\{w = 0\}$ .)

En general, encontrar un atlas explícito para una superficie de Riemann puede ser difícil, pero obsérvese que la superficie particular $$Y := \{3 z - 14 w^2 = 0\}$$ en (3) es la gráfica de una función $f(w)$ Así que $Y$ admite un gráfico global preferido, $$\Bbb C \to Y, \qquad w \mapsto (w, f(w)) .$$

Se pueden utilizar gráficos como el $\phi_1, \phi_2$ en su solución, pero hay que tener mucho más cuidado: Las dos funciones $\phi_i$ no son suaves en $0$ y simplemente escribiendo $\sqrt{\cdot}$ debemos (al menos implícitamente) hacer una elección de corte de rama. Entonces, $\phi_1$ y $\phi_2$ do pas juntos cubren $Y$ .

Answer 2

Hay una superficie de Riemann para $z = w^2$ (o $w = \sqrt{z}$ ); para este caso $$ P(z, w) = z - w^2 $$ y $\frac{\partial P} {\partial w} = 0$ para $w = 0$ por lo que tener una derivada parcial que es cero no es un asesino de superficie. Así que supongo que eso significa que la respuesta a su pregunta 2 es "no".

Como regla general, piensa en una curva en el plano, por ejemplo, el círculo unitario. En casi todos los puntos (excepto $(\pm 1, 0)$ ) el mapa

$$ (x, y) \mapsto x $$

es una buena función de coordenadas. Eso es porque el espacio tangente a la curva se proyecta al $x$ -(es decir, se proyecta sobre todo el eje y no sobre un único punto, como ocurre cuando hay tangentes verticales). En esos dos lugares "malos", podemos inclinar la cabeza y utilizar la función $y$ -eje y el mapa $$ (x, y) \mapsto y $$ para mapear una vecindad de cada punto de forma agradable a la $y$ -(que consideramos $\Bbb R$ ).

Esto suele funcionar: toma una curva bonita, y para la mayoría de los puntos $P$ en la curva, una vecindad de $P$ proyectos a la $x$ -bien, y cuando no lo hace, algún barrio se proyecta hacia el eje $y$ -eje muy bien.

Sin embargo, hay excepciones: La curva definida por

$$ t \mapsto \begin{cases} (-t^2, 0) & x \le 0 \\ (0, t^2) & x > 0\end{cases}, $$ por ejemplo, proyecta mal (cerca de $t =0$ es decir, $x = y = 0$ sobre ambos ejes.

Como señala Travis, lo fundamental es que tu polinomio definidor tenga un jacobiano de rango 1 en cada punto (¡lo mismo ocurre con las curvas en el plano!).

Y se aplica esencialmente el mismo argumento: en casi todos los puntos, la proyección $(z, w) \mapsto z$ será un gráfico; en los puntos donde no lo sea, la proyección $(z, w) \mapsto w$ será gráfico. Sin embargo, la función de transición entre estos gráficos puede ser compleja.