Clasificación de grupos de orden 90.

Question

Desde $3\cdot 3\cdot 2\cdot 5=90$ sabemos que tenemos un $3$ -Subgrupo Sylow $P_3$ de orden $9$ , a $2$ -subgrupo bajo $P_2$ de orden $2$ , a $ 5$ -Subgrupo Sylow $P_5$ de orden $5$ .

Sé que $P_5 \cong Z_5$ y $P_2 \cong Z_2$ ¿verdad? Pero no estoy seguro de qué $P_3$ es isomorfo a, porque no podemos concluir necesariamente que es cíclico...ya que podría tener $4$ diferentes elementos de orden $3$ .

Así que cuando estoy viendo los diferentes casos para los productos semidirectos (por ejemplo, si miro el caso cuando todos los subgrupos sylow son normales), sólo voy a decir $G \cong P_3 \times Z_{10}$ ¿verdad?

Sólo pregunto para asegurarme de si lo estoy haciendo correctamente (para este caso concreto).

Gracias de antemano

Answer 1

Aquí tienes algunos consejos que te ayudarán:

1. Existe un subgrupo normal de índice 2 (utilice la representación regular y busque una permutación impar).
2. Todos los grupos de orden 45 son abelianos (utilice los teoremas de Sylow y el hecho de que los grupos de orden $p^2$ son abelianos).
3. Su grupo es un producto semidirecto de un grupo de orden 45 y uno de orden 2.
4. Consideremos las posibles acciones de orden 2 sobre un grupo abeliano de orden 45 (llamémoslo H). Hay 22 acciones posibles cuando H es cíclico, y 23 cuando H es no cíclico. [Para verlo, descompongamos $H$ como producto directo, recordando que es abeliano].

Por tanto, hay 4+6=10 grupos posibles. Es bastante fácil demostrar que todos son distintos.

Answer 2

Algunas ideas:

Sea $\,G\,$ sea un grupo con $\;|G|=90=2\cdot3^2\cdot5\;$ , $\,n_p:=\,$ sea el número de Sylow $\,p$ -subgrupos de $\,G\,$ . Denotamos por $\,P_p, Q_p, R_p\,$ etc., los diferentes Sylow $\,p$ -subgrupos:

$$[G:N_G(P_3)]=n_3\in\{1\,,\,10\}$$

Denote $\,M:=P_3\cap Q_3\,$ y puesto que $\,|M|=1\,,\,3\;$ (¿por qué no puede ser $\,9\,$ ?) obtenemos

$$|P_3Q_3|=\frac{|P_3|\,|Q_3|}{|M|}=\frac{81}{|M|}\ge\frac{81}{3}=27$$

así que por el teorema de Lagrange, $\,|\langle P_3\,,\,Q_3\rangle|=45\,,\,90\,$ (¿por qué no puede ser $\,30\,$ ?) :

$$(i)\;\;\;\;\;|\langle P_3\,,\,Q_3\rangle|=45\implies [G:\langle P_3\,,\,Q_3\rangle]=2\implies \langle P_3\,,\,Q_3\rangle\lhd G$$

$$(ii)\;\;\;\;\;|\langle P_3\,,\,Q_3\rangle|=90\implies M\lhd P_3\,,\,Q_3 \;\;(\text{why?})\implies M\lhd\langle P_3,Q_3\rangle=G$$

Así que ya tenemos que un grupo de orden $\,90\,$ no puede ser simple, pero no sólo eso: ambos $\,P_3\,,\,Q_3\lhd\langle P_3\,,\,Q_3\rangle\,$ y de aquí obtenemos que en el caso (i) hay un único Sylow $\,3$ -subgrupo que luego es normal.

Rellene los datos e intente seguir a partir de aquí, al menos para algunos casos.