-1 * -1 = 1 en cualquier anillo.

Question

Me he estado confundiendo con esto.

¿Cómo puedo demostrar que $$(-1) \cdot (-1) = 1$$ en cualquier ring? Dónde $\cdot$ es la operación de multiplicación.

Es decir, la inversa aditiva de la identidad multiplicativa multiplicada por la inversa aditiva de la identidad multiplicativa es la identidad multiplicativa.

Answer 1

Ley de Signos prueba: $\rm\,\ (-x)(-y) = (-x)(-y) + x(\overbrace{-y + y}^{\large =\,0}) = (\overbrace{-x+x}^{\large =\,0})(-y) + xy = xy$

De forma equivalente, evalúe $\rm\:\overline{(-x)(-y) +} \overline{ \underline {x(-y)}} \underline{ +xy_{\phantom{.}}}\ $ de dos maneras, señalando cada término de más/menos $ = 0$ .

Dicho más conceptualmente, $\rm\:(-x)(-y)\ $ y $\rm\:xy\:$ son ambas inversas de $\rm\ x(-y)\ $ por lo que son iguales por unicidad de los inversos .

Obsérvese que la prueba sólo utiliza leyes anulares (en particular el ley distributiva ), por lo que la ley de los signos se cumple en todos los anillos. De hecho, todo teorema de anillo no trivial (es decir, que no degenere en un teorema sobre el grupo aditivo o monoide multiplicativo subyacente), debe emplear la ley distributiva, ya que es la única ley que conecta las estructuras aditiva y multiplicativa que se combinan para formar la estructura del anillo. Sin la ley distributiva, un anillo sería simplemente un conjunto con dos estructuras aditivas y multiplicativas completamente inconexas. Así que, en cierto sentido, la ley distributiva es la piedra angular de la estructura del anillo.

Answer 2

Simplifique $(-1+1)\cdot(-1+1)$ de dos maneras diferentes.

Answer 3

Pista: $$ 0 = (1-1)*(1-1) = 1*1 + 1*-1 + -1*1 + -1 * -1 $$

Answer 4

Cada anillo $R$ tiene un homomorfismo de anillo $i:\mathbb{Z}\to R$ que proviene de $R$ siendo un $\mathbb{Z}$ -es decir, un grupo abeliano. Está determinado por $i(1)=1$ . (He barrido un poco lo que intentas demostrar en estas afirmaciones).

Desde $(-1)(-1)=1$ en $\mathbb{Z}$ tenemos $i((-1)(-1))=i(1)$ o ampliado $i(-1)i(-1)=1$ . Esto es $(-1)(-1)=1$ en $R$ .