Cálculo eficaz de Mayer-Vietoris

Question

Se trata de una cuestión cuya motivación y encuadre parecen implicar mucha topología, pero que sospecho que se reduce a algo de combinatoria simple y estándar que probablemente esté registrado en algún libro. Para atraer a la gente de nLab, diré que también consideré titular esto "categorizando la inversión de Mobius".

Sea $X$ sea un espacio topológico, y sea $U_i$ , $i \in I$ sea una colección finita de conjuntos abiertos de $X$ tal que

• $X = \bigcup U_i$

• Para dos conjuntos cualesquiera $U_i$ y $U_j$ en la colección, $U_i \cap U_j$ también está en la colección.

Supongamos que conozco todos los $H^{\ast}(U_i)$ y todos los mapas de restricción entre ellos, y me gustaría calcular $H^{\ast}(X)$ .

Una forma es calcular $H^{\ast}(U_1)$ entonces $H^{\ast}(U_1 \cup U_2)$ entonces $H^{\ast}(U_1 \cup U_2 \cup U_3)$ y así sucesivamente, utilizando sucesivamente Mayer-Vietoris para introducir cada nuevo conjunto.

También puedo hacerlo todo de una sola vez, utilizando la secuencia espectral de Mayer-Vietoris. Sea $J \subseteq I$ sea el conjunto de índices $j$ tal que $U_j$ no está contenido en ningún otro $U_i$ . Como se explica aquí Una forma de ver esto es que tenemos un complejo exacto de gavillas. $$0 \to \mathbb{Z}(X )\to \bigoplus_{j \in J} \mathbb{Z}(U_j) \to \bigoplus_{j_1, j_2 \in J} \mathbb{Z}(U_{j_1} \cap U_{j_2}) \to \cdots \quad (\ast)$$ (Véanse los comentarios a esa pregunta para saber si se debe utilizar la extensión por cero o el pushforward; lo cual no estoy seguro de que se haya resuelto nunca. Probablemente debería resolverlo en algún momento, pero no es en lo que quiero centrarme, así que podemos cambiar a coberturas por conjuntos cerrados si eso evita centrarnos en ese punto).

Parece que a veces se puede utilizar el conocimiento de las relaciones entre los $U$ 's para acortar la resolución $(\ast)$ . Por ejemplo, supongamos que $U_1 \cap U_2 = U_1 \cap U_3 = U_2 \cap U_3 = U_4$ . Entonces el complejo $(\ast)$ parece $$0 \to \mathbb{Z}(X) \to \mathbb{Z}(U_1) \oplus \mathbb{Z}(U_2) \oplus \mathbb{Z}(U_3) \to \mathbb{Z}(U_4)^{\oplus 3} \to \mathbb{Z}(U_4) \to 0.$$ Pero hay una resolución más corta $$0 \to \mathbb{Z}(X) \to \mathbb{Z}(U_1) \oplus \mathbb{Z}(U_2) \oplus \mathbb{Z}(U_3) \to \mathbb{Z}(U_4)^{\oplus 2} \to 0. \quad (\ast \ast)$$

Sea $I$ sea el poset de relaciones de contención entre los $U_i$ . (Dado que la colección $U_i$ es cerrado bajo intersección, $I$ tiene uniones y, si unimos un elemento mínimo extra $0$ de $I$ entonces $I$ es un celosía .) Estoy buscando una receta que se vería en la poset $I$ y escupir el complejo $(\ast \ast)$ .

La inversión de Mobius me dice que la gavilla $\mathbb{Z}(U_i)$ debe utilizarse " $\mu(0,i)$ veces", donde $\mu$ es el Función Mobius y las comillas son porque el uso de $U_i$ en un grado cohomológico impar cuenta negativamente. Por ejemplo, la doble aparición de $U_4$ en $(\ast \ast)$ refleja que $\mu(0,2) = 2$ para este poset. Por eso digo que quiero "categorizar la inversión de Mobius": quiero convertir ese número en un espacio vectorial (o colección de espacios vectoriales).

Gracias.

Answer 1

Para estar seguro, permítanme suponer que las cohomologías se toman con coeficientes en un campo, como $\mathbf{C}$ .

Sea $I' \subset I$ sean los índices para los que $U_i$ no es vacío. El álgebra de incidencia de $I'$ es un álgebra de dimensión finita que actúa naturalmente sobre el espacio vectorial de $\mathbf{C}$ -sobre $I'$ . Su "inversión de Mobius categorizada" equivale a encontrar la resolución proyectiva mínima de este módulo.

Sea $f:X \to I'$ sea la función que transporta $x$ al índice de $\bigcap_{i \in I \mid x \in U_i} U_i$ . Esta función es continua para la topología en $I'$ cuyos subconjuntos abiertos son ideales de orden. La sucesión espectral de Mayer-Vietoris para el recubrimiento es también la sucesión espectral de Leray para el mapa $f$ y la gavilla constante . $$ E_2^{st} = H^s(I';R^t f_* \mathbf{C}) \implies H^{s+t}(X) $$

Una gavilla en un espacio topológico finito como $I'$ es el mismo dato que un functor out de $I'$ considerado como un poset, y es también el mismo dato que un módulo sobre el álgebra de incidencia de $I'$ . Si $\mathcal{F}$ es una gavilla, el functor correspondiente $F$ viene dada por la fórmula $$ F(i) = \Gamma(\text{minimal open neighborhood of $ i $};\mathcal{F}) $$ El módulo correspondiente $M$ es la suma directa de todos los $F(i)$ . Bajo esta correspondencia:

1. Las gavillas $R^t f_* \mathbf{C}$ tomar el valor $H^t(U_i;\mathbf{C})$ en $i$ .
2. Los módulos proyectivos sobre álgebras de dimensión finita tienen la propiedad de Krull-Schmidt. En el caso del álgebra de incidencia, los módulos proyectivos indecomponibles están parametrizados por $i \in I'$ . El proyectivo $P_{i}$ viene dada por $$ P_i(j) = \begin{cases} \mathbf{C} & \text{if $j \leq i$} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ Homomorfismos fuera de $P_i$ calcular el valor del functor en $i$ .
3. La gavilla constante en $I'$ es el módulo $\mathbf{C}^{I'}$ .

En $H^s(I';-) = \mathrm{Ext}^s(\text{constant sheaf},-)$ una resolución proyectiva de $\mathbf{C}^{I'}$ da un complejo informático en cadena $H^s(I';-)$ y el $E_2$ página de la secuencia espectral. La teoría de álgebras finito-dimensionales dice que hay una resolución mínima única (aparece como un subcociente de cualquier otra resolución proyectiva) de $\mathbf{C}^{I'}$ o de cualquier otro módulo de dimensión finita $M$ . Se calcula tomando la cubierta proyectiva de $M$ Llámalo $P_M \to M$ tomando a continuación la cubierta proyectiva del núcleo de $P_M \to M$ etc.

Answer 2

Me gustaría señalar el teorema principal de

R. Brown y P.J. Higgins, ``Colimit theorems for relative homotopy homotopy groups'', J. Pure Appl. Algebra 22 (1981) 11-41.

ahora disponible en nuestro libro con R. Sivera, "Nonabelian algebraic topology" EMS Tract in Math. 15 (2011), como el Teorema de Seifert-van Kampen de Homotopía Superior (HHSvKT).

Primero funciona para el espacio filtrado $X_*$ . Existe un functor $\Pi$ de espacios filtrados a complejos cruzados definido mediante el groupoide fundamental $\pi_1(X_1,X_0)$ los grupos homotópicos relativos $\pi_n(X_n, X_{n-1},v), v \in X_0$ y las operaciones y mapas de límites habituales.

En segundo lugar, funciona para los llamados conectado espacios filtrados. Un espacio filtrado $X_*$ se llama conectado si cumple lo siguiente:

La función $\pi_0X_0 \to \pi_0X_r$ i es suryectiva para todo $r \geqslant 0$ y, para todos $i \geqslant 1$ , $\pi_i(X_r,X_i,v)=0$ para todos $r >i$ y $ v \in X_0$ .

Esta condición puede formularse de otras maneras. Un ejemplo de espacio filtrado conexo es la filtración esquelética de un complejo CW.

Teorema (HHSvKT) Sea $X_* $ sea un espacio filtrado, y sea $\cal U = ( U^\lambda : \lambda \in \Lambda $ sea una familia de subconjuntos de $X$ cuyo interiores cubren $X$ . Supongamos que para cada intersección finita $U^\zeta$ de elementos de $\cal U $ la filtración inducida $U^\zeta_* $ está conectado. [ ] $ X_* $ está conectado, y

$$ c:\bigsqcup_{\lambda \in \Lambda} \Pi U^\lambda_* \rightarrow \Pi X_* , $$

determinado por las inclusiones $U^\lambda \to X$ , está en la categoría $\mathsf{Crs} $ de complejos cruzados el coigualador de $$a, b:\bigsqcup_{\zeta \in \Lambda^{2} } \Pi U^\zeta_* \rightrightarrows \bigsqcup_{\lambda \in \Lambda } \Pi U^\lambda_* , $$ determinado por las inclusiones $U^\lambda\cap U^\mu \to U^\lambda, U^\lambda\cap U^\mu \to U^\mu $ .

Este resultado no tiene que ver con la homología, pero para una filtración CW $X_* $ , $\Pi X_* $ está estrechamente relacionada con las cadenas celulares con operadores de la cubierta universal.

La demostración del teorema no es sencilla. Una consecuencia es el teorema relativo de Hurewicz. Otra es que una filtración CW es conexa. También incluye el teorema habitual de Seifert-van Kampen para el groupoide fundamental en un conjunto de puntos base, y el teorema de Whitehead sobre módulos cruzados libres. De hecho, permite algunos cálculos de homotopía de 2 tipos, en términos de colímitos de módulos cruzados.

Esto puede parecer muy exagerado, pero espero que los lectores puedan ver que la situación básica es la que se pide en la pregunta, y que el Teorema proporcionará una información que no está disponible de otro modo.