Significado de centro de masa : triángulo

Question

Consideremos un triángulo ABC, en el que $A=(x_1,y_1), B=(x_2,y_2)$ y $C=(x_3,y_3).$ Entonces es bien sabido que el centroide es $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}).$

¿Por qué es cierta la siguiente frase?

El centroide de un triángulo es el punto en el que el triángulo podría estar perfectamente equilibrado en la punta de un alfiler.

Conozco la definición y las propiedades del centroide de triángulo, pero no he podido entender exactamente la frase.

Para conocer su definición y propiedades, véase https://www.mathwarehouse.com/geometry/triangles/triangle-concurrency-points/centroid-of-triangle.php#ixzz66i8NwJ3q

Mi otra pregunta es

En general, ¿es único el centroide de un polígono (por ejemplo, rectángulo, pentágono, etc.)?

¿Podría darme alguna pista o referencia al respecto?

Gracias de antemano.

Answer 1

¿Es esta una definición de centroide ¿o se ha definido el centroide y se está indicando como una propiedad? Si intentas equilibrar algo encima de un alfiler, el alfiler no puede ejercer ningún par sobre el objeto. El par debido a la gravedad alrededor del alfiler debe ser cero. Intenta cortar una forma (no tiene por qué ser un triángulo) de cartón y equilibrarla sobre tu dedo.

Podemos considerar el par alrededor de la horizontal $x$ eje. Si la densidad por área es constante sobre la forma, el par alrededor del $x$ eje es $\int y \ dA$ porque un área pequeña $dA$ tendrá una fuerza hacia abajo proporcional a $dA$ y ejercerá un par de $y\ dA$ . En $x$ eje pasará por el centroide cuando esta integral sea cero.

Answer 2

El centroide de un triángulo es el punto en el que el triángulo podría estar perfectamente equilibrado en la punta de un alfiler.

¡Aquí tienes!

En matemáticas y física, el centroide (o centro geométrico ) de una figura plana es la media aritmética ( "media" ) posición de todos los puntos en la forma. Por tanto, el centroide geométrico de un triángulo es también su centro de masa lo que significa que podríamos imaginar toda la masa del objeto plano concentrada en este único punto. Para cada punto situado fuera del centroide que tenga un cierto peso pequeño ( $dW$ ) hay otro punto o más que equilibran este peso. Por tanto, el triángulo está en equilibrio: no hay torsiones (puedes pensar en la torsión como la tendencia de una fuerza, aquí el peso, a girar el cuerpo sobre el que actúa). Si no existiera ese equilibrio alrededor del centroide, el triángulo se inclinaría de un lado y caería.

Answer 3

Sea $\vec{r_0} = (x_0, y_0, z_0)$ sea el punto en el que el polígono podría equilibrarse. El par $d\vec{M}$ de una parte infinitesimal de un polígono en las coordenadas $\vec{r} = (x,y,z)$ de masa $dm$ con respecto al punto $\vec{r_0}$ viene dada por $$d\vec{M} = (\vec{r} - \vec{r_0})\times \vec{g}\,dm$$

El par total $\vec{M}$ en relación con el punto $\vec{r_0}$ es $0$ por definición de $\vec{r_0}$ así que \begin{align} 0 &= \vec{M} \\ &= \int_{\text{polygon}} d\vec{M} \\ &= \int_{\text{polygon}}(\vec{r} - \vec{r_0})\times \vec{g}\,dm \\ &= \left(\int_{\text{polygon}}(\vec{r} - \vec{r_0})\,dm\right) \times \vec{g} \end{align}

Y por lo tanto $\int_{\text{polygon}}(\vec{r} - \vec{r_0})\,dm$ es paralelo a $\vec{g}$ . La integral $\int_{\text{polygon}}(\vec{r} - \vec{r_0})\,dm$ es un vector siempre ortogonal a $\vec{g}$ así que

\begin{align} 0 &= \int_{\text{polygon}}(\vec{r} - \vec{r_0})\,dm \\ &= \int_{\text{polygon}}\vec{r}\,dm - \int_{\text{polygon}}\vec{r_0}\,dm\\ &= \int_{\text{polygon}}\vec{r}\,dm - \vec{r_0}\int_{\text{polygon}}dm\\ &= \int_{\text{polygon}}\vec{r}\,dm - m\vec{r_0} \end{align} donde $m$ es la masa del triángulo.

Concluimos $$\vec{r_0} = \frac1m \int_{\text{polygon}} \vec{r}\,dm$$ que es precisamente la definición del centroide.

Desde el punto de vista de las coordenadas, esto significa $$(x_0, y_0, z_0) = \left(\int_{\text{polygon}} x\,dm, \int_{\text{polygon}} y\,dm, \int_{\text{polygon}} z\,dm\right)$$