¿Los mapas de Gysin entre esquemas lisos son genéricamente suryectivos?

Question

Dado $i: Z \subset X$ una inmersión cerrada de esquemas suaves sobre algún campo $k$ . ¿Existe un subesquema abierto $U$ de $X$ tal que $Z \cap U$ es no vacío y tal que el mapa de Gysin de los grupos de Chow (CH es aquí el anillo total de Chow)

$$i^!: CH(U) \rightarrow CH(Z \cap U)$$

es suryectiva?

(También me interesarían las variantes, si son simplificaciones útiles: $k$ algebraicamente cerrados o ambos grupos tensados con $\mathbf Q$ , $Z$ un divisor en $X$ )

Gracias, señor,

Jakob Scholbach

Answer 1

No creo que esto sea cierto en general. Por ejemplo, $X=\mathbb{P}^2$ entonces $CH(X)$ está finitamente generada. Además, la generación finita es válida para cualquier $U\subset X$ por la secuencia exacta $$CH(X-U)\to CH(X)\to CH(U)\to 0$$ [Fulton, Teoría de la intersección I, 1.8.]

Por otro, cuando $Z$ es una curva de grado $3$ o más, $CH(Z\cap U)$ no está finitamente generada cuando $k$ es algebraicamente cerrado. Para ver esto, observe que $CH(Z)$ contiene los puntos racionales del jacobiano $J(Z)$ que no está finitamente generada (es incontable si $k=\mathbb{C}$ ). Ahora utilice la secuencia anterior, para concluir que $CH(Z\cap U)$ es tampoco está finitamente generada.